解三角形常用知識點歸納與題型總結

1、1解三角形常用知識點歸納與題型總結 解三角形常用知識點歸納與題型總結1、①三角形三角關系： 三角形三角關系：A+B+C=180 A+B+C=180°； °；C=180 C=180°—(A+B) (A+B)；②.角平分線性質定理 角平分線性質定理:角平分線分對邊所得兩段線段的比等于角兩邊之比 角平分線分對邊所得兩段線段的比等于角兩邊之比.③.銳角三角形性質：若 銳角三角形性質：若 A>B>C 則

2、. 60 90 ,0 60 A C ? ? ? ? ? ? ? ?2、三角形三邊關系： 、三角形三邊關系：a+b>c; a+b>c; a-b<c a-b<c3、三角形中的基本關系： 、三角形中的基本關系：sin( ) sin , A B C ? ? cos( ) cos , A B C ? ? ?tan( ) tan , A B C ? ? ?sin cos ,cos sin ,tan cot 2 2 2 2

3、2 2A B C A B C A B C ? ? ? ? ? ?（1）和角與差角公式 ）和角與差角公式; sin( ) sin cos cos sin ?????? ???; . cos( ) cos cos sin sin ?????? ?? ? tan tan tan( ) 1 tan tan?? ?? ??? ?? ?（2） 二倍角公式 二倍角公式 sin2α = 2cosαsinα.. 2 2 2 2 co

4、s2 cos sin 2cos 1 1 2sin ????? ??????221 tan1 tan??? ? ?2 2 1 cos2 1 cos2 sin ,cos 2 2? ? ? ? ? ? ? ?（3）輔助角公式（化一公式） ）輔助角公式（化一公式）其中 ) sin( cos sin 2 2 ? ? ? ? ? ? x b a x b x a y ab ? ? tan4、正弦定理：在 、正弦定理：在 中， 中， 、 、 分別為角

5、分別為角 、 、 的對邊， 的對邊， 為 的外 的外 C ?A? a b c A ? C R C ?A?接圓的半徑，則有 接圓的半徑，則有 ． 2 sin sin sina b c R C ? ? ? A ?5、正弦定理的變形公式： 、正弦定理的變形公式：①化角為邊： 化角為邊： ， ， ； 2 sin a R ? A 2 sin b R ? ? 2 sin c R C ?②化邊為角： 化邊為角： ， ， ； sin 2aR A ? s

6、in 2bR ? ? sin 2c C R ?③ ； : : sin :sin :sin a b c C ? A ?④ =2R =2R sin sin sin sin sin sina b c a b cC C? ? ? ? ? A ? ? ? A ?6、兩類正弦定理解三角形的問題： 、兩類正弦定理解三角形的問題：①已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角 已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.②已知兩角和其中一邊的對角，求其他邊角 已

7、知兩角和其中一邊的對角，求其他邊角.( .(對于已 對于已知兩邊和其中一邊所對的角的題型要注意解的情況（一解、兩解、三解） 知兩邊和其中一邊所對的角的題型要注意解的情況（一解、兩解、三解）)7、三角形面積公式： 、三角形面積公式： ．=2R =2R2sinAsinBsinC= sinAsinBsinC= 1 1 1 sin sin sin 2 2 2C S bc ab C ac ?A? ? A ? ? ?= = (海倫公式 海倫公式)

8、Rabc4 2) ( c b a r ? ? ) )( )( ( c p b p a p p ? ? ?32.（2005 年全國高考湖北卷) 在ΔABC 中，已知 ，AC 邊上的中 66 cos , 36 4 ? ? B AB線 BD= ，求 sinA 的值． 5分析：本題關鍵是利用余弦定理，求出 AC 及 BC，再由正弦定理，即得 sinA．解：設 E 為 BC 的中點，連接 DE，則 DE//AB，且 ，設 BE＝x奎屯王新敞新疆

9、36 221 ? ? AB DE在ΔBDE 中利用余弦定理可得： ， BED ED BE ED BE BD cos 2 2 2 2 ? ? ? ?，解得 ， （舍去）奎屯王新敞新疆 x x 6636 2 2 38 5 2 ? ? ? ? ? 1 ? x 37 ? ? x故 BC=2，從而 ，即奎屯王新敞新疆又 ，328 cos 22 2 2 ? ? ? ? ? B BC AB BC AB AC 321 2 ? AC 630 sin ?

10、B故 ，奎屯王新敞新疆2 212 3sin 306A ? 1470 sin ? A在△ABC 中，已知 a＝2，b＝ ，C＝15°，求 A。 2 2答案： 0 0 0 0 180 30 B A A A ? ? ? ? ∴，且，∴題型之二 題型之二：判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關系式，判斷此三角形的形狀． ：判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關系式，判斷此三角形的形狀．1. (2005 年北京春季高考題)在 中，已知

11、，那么 一定是 ABC ? C B A sin cos sin 2 ? ABC ?（ ）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形解法 1：由 ＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB， C B A sin cos sin 2 ?即 sinAcosB－cosAsinB＝0，得 sin(A－B)＝0，得 A＝B．故選(B)．解法 2：由題意，得 cosB＝ ，再由余弦定理，得 cosB＝

12、 ． sin2sin 2C cA a ?2 2 22a c bac? ?∴ ＝ ，即 a2＝b2，得 a＝b，故選(B)．2 2 22a c bac? ?2ca評注：判斷三角形形狀，通常用兩種典型方法：⑴統(tǒng)一化為角，再判斷(如解法 1)，⑵統(tǒng)一化為邊，再判斷(如解法 2)．題型之三 題型之三：解決與面積有關問題 ：解決與面積有關問題主要是利用正、余弦定理，并結合三角形的面積公式來解題． 主要是利用正、余弦定理，并結合三角形的面積公式來