直線與圓的位置關(guān)系典型題目(教師版)

1、1. 已知圓 0 6 2 2 ? ? ? ? ? m y x y x 與直線 0 3 2 ? ? ? y x 相交于 P 、 Q 兩點，O 為原點，且 OQ OP ? ，求實數(shù) m 的值．解設(shè)點 P 、 Q 的坐標(biāo)為 ) , ( 1 1 y x 、 ) , ( 2 2 y x ．一方面，由 OQ OP ? ，得1 ? ? ? OQ OP k k ，即 12211 ? ? ? xyxy ，也即： 0 2 1 2 1 ? ? y y x x

2、 ． ①另一方面， ) , ( 1 1 y x 、 ) , ( 2 2 y x 是方程組? ? ?? ? ? ? ?? ? ?0 60 3 22 2 m y x y xy x的實數(shù)解，即 1 x、 2 x 是方程 0 27 4 10 5 2 ? ? ? ? m x x②的兩個根．∴ 2 2 1 ? ? ? x x ， 527 42 1? ? m x x ． ③又 P 、 Q 在直線 0 3 2 ? ? ? y x 上，∴ ] ) (

3、 3 9 [ 41 ) 3 ( 21 ) 3 ( 212 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x y y ? ? ? ? ? ? ? ? ．將③代入，得 5122 1? ? m y y ． ④將③、④代入①，解得 3 ? m ，代入方程②，檢驗 0 ? ? 成立，∴ 3 ? m ．2. 已知定點 ，點 在圓 上運動， 的平分線交 于點 ，則 ) 0 , 3 ( B A 1 2 2 ? ? y x AOB ? AB M點

4、的軌跡方程是 . M解：設(shè) .∵ 是 的平分線，∴ ， ∴ ) , ( ), , ( 1 1 y x A y x M OM AOB ?31 ? ? OBOAMBAM.由變式 1 可得點 的軌跡方程是 . MB AM 31 ? M169 ) 43 ( 2 2 ? ? ? y x3. 自點 ? ? 3 3， ? A 發(fā)出的光線 l 射到 x 軸上，被 x 軸反射，反射光線所在的直線與圓0 7 4 4 2 2 ? ?

5、? ? ? y x y x C： 相切（1）求光線 l 和反射光線所在的直線方程．（2）光線自 A 到切點所經(jīng)過的路程．析思路．根據(jù)對稱關(guān)系，首先求出點 A 的對稱點 A? 的坐標(biāo)為? ? 3 3 ? ? ， ，其次設(shè)過 A? 的圓C 的切線方程為 ? ? 3 3 ? ? ? x k y根據(jù) r d ? ，即求出圓C 的切線的斜率為 34 ? k 或 43 ? k則 ， 解得 . 16 4 4 2 01 9 3 0( ) ( ) 4

6、 2 2D E FD E FD E? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?352DEF? ? ? ? ? ? ? ? ? ?∴ 圓的方程為 . 2 2 3 5 2 0 x y x y ? ? ? ? ?6. 已知：以點 C(t， )(t∈R，t≠0)為圓心的圓與 x 軸交于點 O、A，與 y 軸交于點 O、B，其2t中 O 為原點．(1)求證：△OAB 的面積為定值； (2)設(shè)直線 y＝－2x＋4

7、 與圓 C 交于點 M，N，若 OM＝ON，求圓 C 的方程．解：(1)證明：∵圓 C 過原點 O，∴OC2＝t2＋ .設(shè)圓 C 的方程是(x－t)2＋(y－ )2＝t2＋4t22t4t2，令 x＝0，得 y1＝0，y2＝ ；令 y＝0，得 x1＝0，x2＝2t.4t∴S△OAB＝ OA·OB＝ ×| |×|2t|＝4，即△OAB 的面積為定值．12124t(2)∵OM＝ON，CM＝CN，∴OC 垂直平分線

8、段 MN.∵kMN＝－2，∴kO C＝ ，12∴直線 OC 的方程是 y＝ x.∴ ＝ t，解得：t＝2 或 t＝－2.122t12當(dāng) t＝2 時，圓心 C 的坐標(biāo)為(2,1)，OC＝ ，此時圓心 C 到直線 y＝－2x＋4 的距離 d 5＝，圓 C 與直線 y＝－2x＋4 不相交，155∴t＝－2 不符合題意舍去．∴圓 C 的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.7. 已知圓 C 的方程為 x2＋y2＝1，直線 l1 過定點 A(3,

9、0)，且與圓 C 相切．(1)求直線 l1 的方程； (2)設(shè)圓 C 與 x 軸交于 P、Q 兩點，M 是圓 C 上異于 P、Q 的任意一點，過點 A 且與 x 軸垂直的直線為 l2，直線 PM 交直線 l2 于點 P′，直線 QM 交直線 l2 于點 Q′.求證：以 P′Q′為 直徑的圓 C′總過定點，并求出定點坐標(biāo)．解：(1)∵直線 l1 過點 A(3,0)，且與圓 C：x2＋y2＝1 相切，設(shè)直線 l1 的方程為 y＝k(x－ 3

10、)，即 kx－y－3k＝0，則圓心 O(0,0)到直線 l1 的距離為 d＝ ＝1，解得 k＝± ，|3k|k2＋124∴直線 l1 的方程為 y＝± (x－3)． 24(2)對于圓 C：x2＋y2＝1，令 y＝0，則 x＝±1，即 P(－1,0)，Q(1,0)．又直線 l2 過點 A 且與 x 軸垂直，∴直線 l2 方程為 x＝3.設(shè) M(s，t)，則直線 PM 的方程為 y＝ (x＋1)．ts＋1解方程