直線與橢圓位置關(guān)系(經(jīng)典)教師版

1、直 線 與 橢 圓 (教師版)知識與歸納： 知識與歸納：1..點與橢圓的位置關(guān)系 點與橢圓的位置關(guān)系點 P(x0，y0)在橢圓 內(nèi)部的充要條件是 ；在橢圓外部的充要條件是 ； 1 2222? ? byax 1 22 022 0 ? ? byax 1 22 022 0 ? ? byax在橢圓上的充要條件是 . 1 22 022 0 ? ? byax2.直線與橢圓的位置關(guān)系 直線與橢圓的位置關(guān)系.設(shè)直線 l：Ax+By+C=0，橢圓 C：

2、 ，聯(lián)立 l 與 C，消去某一變量(x 或 y)得到關(guān)于另一個變量的一元 1 2222? ? byax二次方程，此一元二次方程的判別式為Δ，則 l 與 C 相離的 Δ0. ? ? ?3.弦長計算 弦長計算計算橢圓被直線截得的弦長，往往是設(shè)而不求，即設(shè)弦兩端坐標為 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) |P1P2|= ?（k 為直線斜率）形式(利用根與系數(shù)關(guān)系 22 122 1 ) ( ) ( y y x x ? ? ? 2 1 2

3、 2 12 1 1 1 y y k x x k ? ? ? ? ? ?（推導(dǎo)過程：若點 在直線 上， 1 1 2 2 ( , ) ( , ) A x y B x y ， ( 0) y kx b k ? ? ?則 ，這是同點縱橫坐標變換，是兩大坐標變換技巧之一， 1 1 2 2 y kx b y kx b ? ? ? ? ，2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) (1 )( ) AB

4、x x y y x x kx kx k x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 21 2 1 2 (1 )[( ) 4 ] k x x x x ? ? ? ?或者 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 21 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) (1 )( ) AB x x y y x x y y y y k k k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。) 21 2 1 2 2 1 (1 )[

5、( ) 4 ] y y y y k ? ? ? ?一，直線與橢圓的位置關(guān)系 一，直線與橢圓的位置關(guān)系例題 例題 1、判斷直線 、判斷直線 與橢圓 與橢圓 的位置關(guān)系 的位置關(guān)系 0 3 ? ? ? y kx 1 4 162 2? ? y x解：由 可得? ?? ??? ?? ?1 4 1632 2 y xkx y0 20 24 ) 1 4 ( 2 2 ? ? ? ? kx x k ) 5 16 ( 16 2 ? ? ? ? k（1）當(dāng)

6、時，直線 與橢圓 相交 4545 0 ) 5 16 ( 16 2 ? ? ? ? ? ? ? k k k 或 即 0 3 ? ? ? y kx 1 4 162 2? ? y x910 4212 1 2 1 ? ? ? ? ? y y F F S解法二： 到直線 AB 的距離 2 F 55 4 ? h由 可得 ，又? ?? ??? ?? ? ?1 1 22 22 2 y xx y0 6 16 9 2 ? ? ? x x 92 10 1 2

7、 12 ? ? ? ? x x k AB910 421 ? ? ? ? h AB S[評述]在利用弦長公式 （k 為直線斜率）或焦（左）半徑公式 2 1 2 2 12 1 1 1 y y k x x k AB ? ? ? ? ? ?時，應(yīng)結(jié)合韋達定理解決問題。 ) ( 2 2 2 1 2 1 2 1 x x e a ex a ex a PF PF AB ? ? ? ? ? ? ? ? ?例題 例題 4、 已知長軸為 已知長軸為 12 1

8、2，短軸長為 ，短軸長為 6，焦點在 ，焦點在 軸上的橢圓，過它對的左焦點 軸上的橢圓，過它對的左焦點 作傾斜解為 作傾斜解為 的直線交橢圓于 的直線交橢圓于 x 1 F 3?， 兩點，求弦 兩點，求弦 的長． 的長． A B AB分析：可以利用弦長公式 求得， ] 4 ) )[( 1 ( 1 2 122 122 12 x x x x k x x k AB ? ? ? ? ? ? ?也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點半徑來求．

9、解：(法 1)利用直線與橢圓相交的弦長公式求解．．因為 ， ，所以 ．因為焦點在 軸 2 12 1 x x k AB ? ? ? ] 4 ) )[( 1 ( 2 122 12 x x x x k ? ? ? ? 6 ? a 3 ? b 3 3 ? c x上，所以橢圓方程為 ，左焦點 ，從而直線方程為 ． 1 9 362 2? ? y x ) 0 , 3 3 (? F 9 3 ? ? x y由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得： ．設(shè) ， 為方程兩

10、根，所以 ， 0 8 36 3 72 13 2 ? ? ? ? x x 1 x 2 x 133 722 1 ? ? ?x x， ， 從而 ． 138 362 1? ? x x 3 ? k 1348 ] 4 ) )[( 1 ( 1 2 122 122 12 ? ? ? ? ? ? ? ? x x x x k x x k AB(法 2)利用橢圓的定義及余弦定理求解．由題意可知橢圓方程為 ，設(shè) ， ，則 ， ． 1 9 362 2

11、? ? y x m AF ? 1 n BF ? 1 m AF ? ?12 2 n BF ? ?12 2在 中， ，即 ； 2 1F AF ? 3 cos 2 2 1 122 12122? F F AF F F AF AF ? ? ? 21 3 6 2 3 36 ) 12 ( 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? m m m所以 ．同理在 中，用余弦定理得 ，所以 ．3 46?? m 2 1F BF ?3 46?? n 1348 ? ?