03線性變換及其矩陣

1、 第三講 第三講 線性變換及其矩陣 線性變換及其矩陣一、線性變換及其運算 一、線性變換及其運算定義：設 定義：設 V 是數(shù)域 是數(shù)域 K 上的線性空間， 上的線性空間，T 是 V 到自身的一個映射，使 到自身的一個映射，使得對于 得對于 V 中的任意元素 中的任意元素 x 均存在唯一的 均存在唯一的 y V 與之對應，則稱 與之對應，則稱 ?T 為 V 的一個變換或算子，記為 的一個變換或算子，記為Tx＝y(tǒng)稱

2、 y 為 x 在變換 在變換 T 下的象， 下的象，x 為 y 的原象。 的原象。若變化 若變化 T 還滿足 還滿足T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty) x,y V, k,l K ? ? ?稱 T 為線性變換。 為線性變換。[例 1] 二維實向量空間 二維實向量空間 ，將其繞原點旋轉(zhuǎn) ，將其繞原點旋轉(zhuǎn) 角的 角的1 2i2R R ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??操作就是一個線性變換。 操作就

3、是一個線性變換。[證明 證明] 12x ? ? ? ? ? ? ? ? ?12y Tx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 22 1 2cos sinsin cos? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?1 12 2cos sinsin cos? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 R ??1 ?2 ?1 ?2 ?xyo可見該操

4、作 可見該操作 T 為變換，下面證明其為線性變換 為變換，下面證明其為線性變換（2）T(-x)=(-1)(Tx)=-(Tx)（3）元素組 ）元素組 線性相關，即存在一組不全為零的 線性相關，即存在一組不全為零的 1 2 m x ,x , ,x L數(shù)使 1 2 m k ,k , ,k Lmi ii 1k x 0?? ?則 m mi i i ii 1 i 1T( k x ) k (Tx ) T(0) 0? ??

5、 ? ? ? ?線性相關。 線性相關。 ? ? ? i Tx[得證 得證]應該注意，線性無關的元素組經(jīng)過線性變換不一定再是線性 應該注意，線性無關的元素組經(jīng)過線性變換不一定再是線性無關的，變換后的情況與元素組和線性變換有關。若線性變換 無關的，變換后的情況與元素組和線性變換有關。若線性變換T將所有的元素組仍變換為線性無關的元素組，則稱之為滿秩的線 將所有的元素組仍變換為線性無關的元素組，則稱之為滿秩的線性變換，其變換矩陣為滿秩矩陣。 性

6、變換，其變換矩陣為滿秩矩陣。3. 線性變換的運算 線性變換的運算（1）恒等變換 恒等變換 ： e T e x V,T x x ? ? ?（2）零變換 零變換 ： 0 T 0 x V,T x 0 ? ? ?（3）變換的相等： 變換的相等： 、 是 的兩個線性變換， 的兩個線性變換， ，均有 ，均有 1 T 2 T V x V ? ?，則稱 ，則稱 ＝ 1 2 T x T x ? 1 T 2 T（4）線性變換的和 線性變換的和 + ： ，