一元二次不等式的經(jīng)典例題及詳解

1、典型例題一 典型例題一例 1 解不等式：（1） ；（2） ． 0 15 2 2 3 ? ? ? x x x 0 ) 2 ( ) 5 )( 4 ( 3 2 ? ? ? ? x x x分析 分析：如果多項式 可分解為 個一次式的積，則一元高次不等式 （或 ) (x f n 0 ) ( ? x f）可用“穿根法”求解，但要注意處理好有重根的情況． 0 ) ( ? x f說明 說明：用“穿根法”解不等式時應(yīng)注意：①各一次項中 的系數(shù)必為正；②對

2、于偶次或 x奇次重根可轉(zhuǎn)化為不含重根的不等式，也可直接用“穿根法” ，但注意“奇穿偶不穿” ，其法如下圖．典型例題二 典型例題二例 2 解下列分式不等式：（1） ； （2） 22 1 23? ? ? ? x x 1 2 7 31 422? ? ?? ?x xx x分析 分析：當(dāng)分式不等式化為 時，要注意它的等價變形 ) 0 ( 0 ) () ( ? ? 或 x gx f① 0 ) ( ) ( 0 ) () ( ? ? ? ? x g

3、x f x gx f② 0 ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) () (0 ) (0 ) ( ) ( 0 ) () ( ? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? x g x f x f x gx fx gx g x fx gx f 或 或典型例題三 典型例題三例 3 解不等式 2 4 2 ? ? ? x x分析 分析：解此題的關(guān)鍵是去絕對值符號，而去絕對值符號有兩種方法：一是根據(jù)絕對值的意義? ? ?? ?? ? ) 0 () 0

4、(a aa a a二是根據(jù)絕對值的性質(zhì)： 或 ，因此本題有如 a x a x a x a a x ? ? ? ? ? ? ? . , a x ? ?下兩種解法．典型例題四 典型例題四例 4 解不等式 ． 04 125 622?? ?? ?x xx x分析： 分析：這是一個分式不等式，其左邊是兩個關(guān)于 二次式的商，由商的符號法則，它等 x價于下列兩個不等式組：分析： 分析：先去掉絕對值號，再找它的等價組并求各不等式的解，然后取它們的交集即

5、可．說明： 說明：解含絕對值的不等式，關(guān)鍵是要把它化為不含絕對值的不等式，然后把不等式等價轉(zhuǎn)化為不等式組，變成求不等式組的解．典型例題九 典型例題九例 9 解關(guān)于 的不等式 ． x 0 ) ( 3 2 2 ? ? ? ? a x a a x分析： 分析：不等式中含有字母 ，故需分類討論．但解題思路與一般的一元二次不等式的解 a法完全一樣：求出方程 的根，然后寫出不等式的解，但由于方程的根 0 ) ( 3 2 2 ? ? ? ? a x

6、a a x含有字母 ，故需比較兩根的大小，從而引出討論． a說明： 說明：對參數(shù)進行的討論，是根據(jù)解題的需要而自然引出的，并非一開始就對參數(shù)加以分類、討論．比如本題，為求不等式的解，需先求出方程的根 ， ，因此不等式 a x ? 122 a x ?的解就是 小于小根或 大于大根．但 與 兩根的大小不能確定，因此需要討論 ， x x a 2 a 2 a a ?， 三種情況． 2 a a ? 2 a a ?典型例題十 典型例題十例 10

7、已知不等式 的解集是 ．求不等式 0 2 ? ? ? c bx ax ? ? ) 0 ( ? ? ? ? ? ? x x的解集． 0 2 ? ? ? a bx cx分析： 分析：按照一元二次不等式的一般解法，先確定系數(shù) 的正負，然后求出方程 c的兩根即可解之． 0 2 ? ? ? a bx cx說明： 說明：(1)萬變不離其宗，解不等式的核心即是確定首項系數(shù)的正負，求出相應(yīng)的方程的根；(2)結(jié)合使用韋達定理，本題中只有 ， 是已知量，故

8、所求不等式解集也用 ， 表示，不 ? ? ? ?等式系數(shù) ， ， 的關(guān)系也用 ， 表示出來；(3)注意解法 2 中用“變換”的方法求方程 a b c ? ?的根．典型例題十二 典型例題十二例 12 若不等式 的解為 ，求 、 的值．1 1 2 2 ? ?? ?? ??x xb xx xa x ) 1 ( ) 31 ( ? ? ?? ， ， ? a b分析： 分析：不等式本身比較復(fù)雜，要先對不等式進行同解變形，再根據(jù)解集列出關(guān)于 、 a