曲線復(fù)形與Heegaard分解及其相關(guān)問(wèn)題研究.pdf

1、三維流形一直以來(lái)是低維拓?fù)鋵W(xué)研究的重要對(duì)象.為了更好的研究三維流形，Heegaard對(duì)閉的可定向的三維流形提出了Heegaard分解的概念.Haken將Heegaard分解推廣到了緊致可定向的三維流形上.
　　曲線復(fù)形，作為研究Heegaard分解常用的工具，已被大家所熟知.Masur-Minsky賦予了曲線復(fù)形一個(gè)度量，并證明了在此度量下，曲線復(fù)形是δ-雙曲的.此后又有多名學(xué)者給出了此結(jié)論不同的證明.本文主要研究了利用三維歐氏空

2、間的元素來(lái)賦予曲線復(fù)形不同度量的問(wèn)題，并比較了在不同度量下曲線復(fù)形的性質(zhì)，希望給出曲線復(fù)形的雙曲性一個(gè)新的證明.
　　為了研究三維流形的Heegaard分解，Hempel定義了Heegaard分解的一個(gè)重要指標(biāo)—Heegaard距離.他證明了總是存在Heegaard距離任意大的Heegaard分解.此后，眾多學(xué)者做了一系列關(guān)于Heegaard分解的工作.在此背景下，本文證明了對(duì)于任意給定的正整數(shù)g≥2,總是存在無(wú)窮多個(gè)不同胚的雙曲

3、三維流形，并且每個(gè)雙曲三維流形上都存在虧格為g距離為2的Heegaard分解.此結(jié)論在一定意義下揭示了雙曲三維流形分布的一般性.
　　由Thurston的幾何化猜想可知，三維流形中最重要的研究對(duì)象是雙曲三維流形.由于任意一個(gè)緊致可定向的三維流形都有一個(gè)三角剖分，因此滿足什么條件的三角剖分對(duì)應(yīng)于一個(gè)雙曲三維流形成為拓?fù)鋵W(xué)家關(guān)心的問(wèn)題.為此，Casson在邊界為環(huán)面的三維流形的理想三角剖分上提出了角度結(jié)構(gòu)的概念.他證明了如果一個(gè)邊界為

4、環(huán)面的三維流形具有一個(gè)滿足角度結(jié)構(gòu)的理想三角剖分，那么此三維流形內(nèi)部具有雙曲結(jié)構(gòu).另一方面，Hodgson-Rubinstein-Segerman證明了滿足某些拓?fù)錀l件的與環(huán)面邊界三維流形內(nèi)部同胚的cusped雙曲三維流形一定存在一個(gè)滿足角度結(jié)構(gòu)的理想三角剖分.一個(gè)自然的問(wèn)題是邊界為大虧格（虧格數(shù)大于或等于2）曲面的三維流形的三角剖分與雙曲性是如何對(duì)應(yīng)的.類似于Casson的定義，Luo在邊界為大虧格（虧格數(shù)大于或等于2）曲面的三維流形