動力學性質(zhì)的相對化與局部化.pdf

1、本文由動力學性質(zhì)的相對化和局部化兩部分構(gòu)成。首先，我們使用相對化的思想系統(tǒng)地將很多動力學性質(zhì)的最新進展推廣到相對化的情形．其次，一方面，我們細化前人的動力系統(tǒng)熵理論的局部化思想；另一方面，我們考慮更廣泛的群作用動力系統(tǒng)的局部熵理論．在這些過程中，很多時候我們借鑒于前人的工作，但也有很多時候在借鑒的同時我們遇到了本質(zhì)的困難，這迫使我們尋求完全不同的方法來處理．不僅如此，在推廣的過程中，我們還得到了很多即使放到絕對情形下來看也是嶄新的結(jié)果．

2、 本文的具體安排如下： 在第一章中，我們簡要地介紹了動力系統(tǒng)(尤其是拓撲動力系統(tǒng)和遍歷理論)的起源、發(fā)展以及主要研究內(nèi)容．通過對動力系統(tǒng)發(fā)展歷史與現(xiàn)狀的簡單回顧，我們逐步介紹本文的背景知識和主要內(nèi)容． 在第二章中，我們簡單地介紹本文涉及到的拓撲動力系統(tǒng)和遍歷理論的預備知識． 第三、四、五章組成本文的第一個主題：動力學性質(zhì)的相對化．即：給定動力系統(tǒng)間的因子映射，我們分析發(fā)生在纖維上的動力學行為．設π：(X，

3、T)→(Y,S)為動力系統(tǒng)間的因子映射，也就是說，π為從X到y(tǒng)上與作用相容的連續(xù)滿射，對每個Y ∈Y，稱π<'-1>(y)為一個纖維．特別的，當(Y，S)平凡時，纖維上動力學行為的研究即成為通常的動力系統(tǒng)動力學行為的研究． 在第三章中，我們研究了復雜性函數(shù)和正向等度連續(xù)系統(tǒng)在相對化情形下的對應：相對復雜性函數(shù)和正向等度連續(xù)擴充．我們證明了：對于極小動力系統(tǒng)間的開因子映射，它為正向等度連續(xù)擴充當且僅當每個開覆蓋具有有界的相對復雜

4、性函數(shù)．進一步，基于相對復雜性函數(shù)的思想，我們定義了相對復雜性n-串，相對n-擴散(n≥2)和相對擴散．對于極小可逆動力系統(tǒng)間的開因子映射，我們得到了相對于它的最大可逆等度連續(xù)因子，并且證明了此時相對擴散蘊含了弱混合． 在第四章中，我們研究了纖維上的混沌行為一相對敏感和相對Mycielski混沌．首先，我們引入了相對敏感性的概念，證明了：極小動力系統(tǒng)間的因子映射或者為相對敏感的，或者為正向等度連續(xù)的；動力系統(tǒng)間非平凡的弱混合因子

5、映射為相對敏感的．著名的G1asner-Wleiss結(jié)果告訴我們：非極小的M-系統(tǒng)一定為敏感的．通過將這個結(jié)果推廣到相對化情形，某種意義下我們揭示了這個深刻結(jié)果的本質(zhì)．同時，我們證明了：很多時候，相對2一擴散蘊含了相對Mycielski混沌．其次，當考慮可逆動力系統(tǒng)間的因子映射時，我們證明了：正的條件熵不僅蘊含了纖維上真的漸近對的存在性，還蘊含了相對Mycielski混沌．事實上，我們還指出：這種情況下，纖維上存在拓撲意義下‘很大’的混

6、沌集，即，纖維上混沌集拓撲熵的上確界恰好等于因子映射的條件拓撲熵．即使在絕對情形下來看，這個結(jié)果也是嶄新而又深刻的，以至于審稿人在評審意見中強調(diào)，應當將絕對情形下的這個結(jié)果單獨在文章中凸顯出來． 在第五章中，我們建立了有限開覆蓋的局部相對變分原理．作為應用，我們定義了相對拓撲熵串和相對測度熵串，建立了兩者之間的變分關系，并由此得到了相對的拓撲Pinsker因子，這回答了[111]中提出的某些問題．同時，基于相對拓撲熵對的思想，我

7、們引入了相對一致正熵擴充和相對完全正熵擴充，討論了它們的基本性質(zhì)和有限乘積．上述的這些結(jié)果將十五年來建立起來的動力系統(tǒng)局部熵理論完全推廣到相對化的情形．尤其需要指出的是，在建立有限開覆蓋的局部相對變分原理這一過程中，一方面，在[12]中起到關鍵作用的組合引理[12，引理1]似乎很難推廣到相對化情形，因此我們需要用新的完全不同于前人的方法來解決；另一方面，對于有限Borel覆蓋，我們在測度意義下引入兩種條件熵，并最終建立了兩者之間的相等關

8、系，特別地，回到絕對情形下，我們在文獻中第一次指出了兩者的相等關系，且它在后面第七章的可數(shù)離散amenable群作用動力系統(tǒng)局部熵理論的建立過程中起到了重要作用．注意到，這里兩種條件熵的引入及它們的相等關系均是對有限Borel覆蓋進行的，而不必要求它為開覆蓋．第六、七章組成本文的第二個主題：動力學性質(zhì)的局部化． 在第六章中，我們細化前人有關動力系統(tǒng)熵理論的局部化思想．一方面，我們在拓撲和測度意義下同時定義C．熵點，并建立了兩者之

9、間的變分關系；另一方面，我們定義并研究了一致熵點．一致熵點研究的一個也許有點驚奇的副產(chǎn)品是：每個動力系統(tǒng)里存在一個可數(shù)閉子集，使得它的拓撲熵等于整個系統(tǒng)的拓撲熵．注意將這個結(jié)果與如下的經(jīng)典結(jié)果做比較：每個緊致可數(shù)空間上的同胚均具有零拓撲熵．事實上，通過進一步探討一致熵點研究的思想，我們在[82]中得到了更多深刻的結(jié)果． 在第七章中，我們致力于分析比Z要更加廣泛的一類群-可數(shù)離散的amenable群(包括所有可數(shù)離散的可解群)一作

10、用的動力系統(tǒng)(即，緊致度量空間上的同胚構(gòu)成一個可數(shù)離散的amenable群)的熵理論．在這個背景下我們重新構(gòu)建十五年來建立起來的z作用動力系統(tǒng)的局部熵理論(參見E．Glasner和葉向東教授最近撰寫的綜述性文章[57])．首先，我們對它建立有限開覆蓋的局部變分原理，并由此簡潔地得到了可數(shù)離散amenable群作用動力系統(tǒng)的經(jīng)典變分原理．接著，做為應用，我們在拓撲和測度意義下同時定義熵串，并建立兩者之間的變分關系．最后，基于拓撲熵對的思想

11、，我們引入并討論了一致正熵和完全正熵的概念，指出：一致正熵蘊含了很強的傳遞屬性，完全正熵蘊含了動力系統(tǒng)為滿支撐的，且一致正熵和完全正熵在有限乘積下均保持不變．在局部變分原理的建立過程中，對于有限Borel覆蓋，我們在測度意義下也同時引入了兩種熵．然而，不同于Z作用及其相對化的情形，為了證明它們關于不變測度的上半連續(xù)性，我們需要尋找隱藏在可數(shù)離散amenable群身上未知的深刻性質(zhì)；為了證明兩者的等價性，由于這時萬有的Rohlin引理及著