在時間標度上的一階脈沖發(fā)展方程解的存在性與唯一性.pdf

1、在現(xiàn)實生活中，我們用數(shù)學方法來處理各種自然現(xiàn)象中的問題時，不僅碰到連續(xù)的問題，而且碰到離散的問題。有時一個問題當中既有連續(xù)的成分，又有離散的成分。或者此問題到底是連續(xù)問題還是離散問題，我們并不清楚。這給我們的研究帶來了不便。 為了統(tǒng)一離散分析和連續(xù)分析，StefanHilger于1988年在他的博士論文中提出了時間標度的概念。由于時間標度在物理學、化學技術(shù)、經(jīng)濟學、種群動態(tài)、神經(jīng)網(wǎng)絡、社會科學上的應用，近年來受到廣泛的關(guān)注。如生

2、物學中，某一種昆蟲的數(shù)量在某一季節(jié)連續(xù)地增長，在冬季死亡。它們的蟲卵就冬眠，在下一季節(jié)孵化成蟲。它們的繁殖時間是有間隔的，是不連續(xù)的。只有在時間標度上來進行研究。 對于通常意義下的脈沖發(fā)展方程，在有限維空間中，一階、二階非線性的脈沖發(fā)展方程已經(jīng)研究過了(見[5])。在無限維空間中，從上世紀末開始N.U.Ahmed等人研究了一階半線性的脈沖發(fā)展方程(見[15])，包括我們也研究了半線性的脈沖發(fā)展方程和強非線性的脈沖發(fā)展方程(見[2

3、4]，[23])。 在本世紀，已經(jīng)有一些人開始討論在時間標度上的初邊值問題解的存在性。但只有兩篇文章研究在時間標度上的脈沖發(fā)展方程。然而他們的假設條件太強了，例如在[9]中，作者用Leray-Sahauder不動點理論研究解的存在性。由于方法的限制，只能得到解的存在性，未得到解的唯一性。本論文繼續(xù)對非線性脈沖發(fā)展方程進行研究。在相當弱的條件下的得到解的存在性，并解決了唯一性問題。 本文包括兩個主要結(jié)果： 1.在函

4、數(shù)f(t,y)滿足李普希茲條件時，用Leray-Sahauder不動點理論解決了解的存在性問題，并用時間標度上的Gronwall不等式解決了解的唯一性問題。 2.在函數(shù)f(t，y)滿足局部李普希茲條件和線性增長條件時，用壓縮映像原理同時證明了解的存在性和唯一性。 本文的主要內(nèi)容有： I.準備知識 由于時間標度是一個新的領(lǐng)域，為此收集了近百篇關(guān)于時間標度方面的資料(包括專著和論文)。并對這些資料進行了分析、

5、歸類和整理，作為論文研究的基礎(chǔ)。 在第二章詳細地介紹了在時間標度上的一些基本概念、基本定義、基本定理和基本運算。 1)時間標度的基本概念：時間標度、右移算子、谷函數(shù)、區(qū)間、左稠點、左發(fā)散點、右稠點、右發(fā)散點、數(shù)學歸納法(見2.1節(jié))。 2)微分和積分定義，以及基本運算和定理(見2.2和2.3節(jié))。 3)時間標度上的復合函數(shù)的求導法則、回歸函數(shù)的定義和基本性質(zhì)、多項式的定義和基本性質(zhì)、以及其它結(jié)果(見2.4

6、至2.7節(jié))。 4)函數(shù)導數(shù)和積分的具體的例子(見2.8節(jié))。 在第三章介紹了在時間標度上的指數(shù)函數(shù)(見3.1節(jié))、在時間標度上的微分方程的初邊值問題(見3.2節(jié))、在時間標度上的Gronwall不等式(見3.3節(jié))。 Ⅱ.主要結(jié)果 本論文考慮在時間標度上如下的一階脈沖發(fā)展方程： y△(t)+p(t)yσ(t)=f(t，y(t))，t∈T：=[a，b]，t≠t_{k}，k=1,...，m(1)

7、 y(t+k)=Ik(y(t-k))，k=1,...,m(2) y(a)=η，(3) 1.f(t，y)滿足李普希茲條件的情形 假設： (H1)存在一個常數(shù)C，使得|η|＜C和|Ik(y)|＜C,對任意k=1,...,m，y∈R都成立。 (H2)函數(shù)f:[a,b]×R→R是連續(xù)的，并且滿足|f(t，y1)-f(t，y2)|≤L1|y1-y2|；其中t∈[a,b]，y1，y2∈R. 定理1

8、.假設(H1)和(H2)成立，則在時間標度上的脈沖初值問題(1)-(3)至少有一個解。 定理2.假設(H1)和(H2)成立，則在時間標度上的脈沖初值問題(1)-(3)有且僅有一個解。 2.f(t,y)滿足局部李普希茲和線性增長條件的情形 假設： (H3)函數(shù)f:[a,b]×R→R是局部李普希茲連續(xù)的，即ρ＞0，存在一個正數(shù)L(ρ)使得|f(t,y1)-f(t，y2)|≤L(ρ)|y1-y2|；其中t∈[a

9、,b]，|y1|＜ρ，|y2|＜ρ.此外f(t,y)服從線性增長條件：|f(t，y)|＜L(1+|y|)，()(t，y)∈[a,b]×R其中L是一個大于0的常數(shù)。 定理3.假設(H1)和(H3)成立，則在時間標度上的脈沖初值問題(1)-(3)有唯一解. 本文的特點和創(chuàng)新之處： 1)時間標度是新領(lǐng)域，選取時間標度意義下的脈沖非線性發(fā)展方程作為研究對象，對完善時間標度意義下的微分方程理論有一定意義。進入一個新領(lǐng)域的研