一類雙穩(wěn)型趨化—擴散—增長模型的斑圖.pdf

1、本文主要研究如下帶雙穩(wěn)型源項Keller-Segel模型{Ut=a▽2U-b▽(U▽V)+kU(1-U)(U-h)，Vt=d▽2V+fU-gV在d-維方體Td=（0，π）d(d=1，2，3)上滿足齊次Neumann邊界條件時的不穩(wěn)定常數(shù)平衡解附近的非線性動力學行為.證明對于任意給定一般擾動的δ，在一個以ln1/δ為階的時間周期內(nèi)，它的非線性演化由相應的線性化模型的有限個最快增長模式所控制.當δ→0時產(chǎn)生非線性不穩(wěn)定性.這種不穩(wěn)定有可能在

2、爆破之前產(chǎn)生.另一方面，每一個初始擾動所產(chǎn)生的作用一定會與其它初始擾動所產(chǎn)生的的作用截然不同，這就導致了斑圖的多樣性.全文由七部分組成.
　　(1)證明常微分方程組形式的模型{dU/dt=kU(1-U)(U-h)，dV/dt=fU-gV的正平衡點A3=（h，fh/g）是不穩(wěn)定的.平凡平衡點A1=(0，0)和正平衡點A2=（1，f/g是局部漸近穩(wěn)定的.
　　(2)證明不帶趨化項的反應擴散模型{Ut=d1▽2U+kU(1-U)(

3、U-h),x∈Td,t＞0,Vt=d2▽2V+fU-gV.x∈Td,t＞0,(e)U/(e)xi=(e)V/(e)xi=0xi=0，π，1≤i≤d的平凡平衡點A1=(0，0)和正平衡點A2=(1，f/g)是局部漸近穩(wěn)定的，其中Td=(0，π)d(d=1，2，3).
　　(3)證明交錯擴散模型{Ut=d1▽2U-d3▽2V+kU(1-U)(U-h),x∈Td,t＞0,Vt=d2▽2V+fU-gV.x∈Td,t＞0,(e)U/(e)x

4、i=(e)V/(e)xi=0xi-=0，π，1≤i≤d平凡平衡點A1=(0，0)和正平衡點A2=（1，f/g)是局部漸近穩(wěn)定的，其中Td=（0，π）d(d=1，2，3).
　　(4)利用Young和Grownwall不等式研究模型(0.7)增長模式.
　　(5)提出并證明Bootstrap引理.即利用偏微分方程理論得到模型(4.1)和(4.2)局部解的存在性.證明了模型(4.1)和(4.2)的解既滿足齊次Neumann邊界條

5、件也滿足周期邊界條件.
　　(6)證明本文的主要結(jié)論，即線性不穩(wěn)定性和斑圖的生成模式.設θ是一個小的固定的常數(shù)，且λmax是最大特征值.用(v)＞0表示λmax與其他特征值的最小距離，則對于任意小的δ＞0，定義逃逸時間Tδ.對于任意的ε＞0，一般擾動的動力學的特性是由相應的線性動力學在一個較長的時間周期εTδ≤t≤Tδ上來刻畫的.
　　(7)利用能量估計，疊加原理，Sobolev嵌入定理，Gagliardo-Nirenber