Banach空間中積分—微分方程解的存在性及單調(diào)迭代方法.pdf

1、該文在第一章考慮如下形式的Banach空間E中二階混合型積分-微分方程的初值問題:u″(t)=f(t,u(t),u′(t),(Tu)(t),(Su)(t)),(1.2.1)u(0)=u<,0>,u′(0)=u1,(1.2.2)其中t∈J=[0,n],0<'t>k(t,s)u(s)ds,(Su)(t)=∫<,0><'a>h(t,s)u(s)ds,k∈C[D,R+],h∈

2、C[J×J,R+],D={(t,s)∈J×J:t≥s},k<,0>=(max<,(t,s)∈D> k(t,s),h<,0>=max<,(t,s)∈J×J>h(t,s).在E中由錐P引進(jìn)偏序.下面我們列出主要假設(shè):(H1)存在v<,0>,w<,0>∈C<'1>[J,E]∩C<'2>[J,E]使得v<,0>(t)≤w<,0>(t),且v'<,0>(t)≤w'<,0>(t),Vt∈J.并且v<,0>(t),w<,0>(t)分別是初值問題(1.

3、2.1)-(1.2.2)的下解和上解,即v"<,0>≤f(t,v<,0>,v'<,0>,Tv<,0>,Sv<,0>),Vt∈Jv<,0>(0)=u<,0>,v'<,0>(0)=u<,1>w"<,0>≥f(t,w<,0>,w'<,0>,Tw<,0>,Sw<,0>),Vt∈Jw<,0>(0)=u<,0>,w'<,0>=u<,1>.(H3)存在常數(shù)M≥0,M<,1>>0,N≥0使得f(t,u,v,w,z)-f(t,<'->u,<'->v,<'

4、->w,<'->z)≥-M(u-<'->u)-M<,1>(v-<'->v)-N(w-<'->w),Vt∈J,其中v<,0>(t)≤<'->u≤u≤w<,0>(t),v'<,0>(t)≤v≤v≤w'<,0>(t),(Tv<,0>)(t)≤w≤w≤(Tw<,0>)(t),(Sv<,0>)≤z≤z≤(Sw0)(t).(H3)存在常數(shù)C<,i>≥0,(i=1,2,3,4),使α(f(J,V<,1>,V<,2>,V<,3>,V<,4>))≤c<,

5、1>α(V<,1>)+c<,2>α(V<,2>)+c<,3>α(V<,3>)+c<,4>α(V<,4>)其中V<,i> E是有界集,i=1,2,3,4,α為E中有界集的Kuratowski非緊性測度.我們考慮下解小于等于上解的情形,這里首先證明了一個比較定理,然后利用非緊性條件并借助單調(diào)迭代技巧和錐理論得到了初值問題(1.2.1)-(1.2.2)的最小解、最大解的存在性.其主要結(jié)果如下:定理1.3.1 設(shè)E是實Banach空間,P是正規(guī)

6、錐且條件(H1),(H2)和(H3)滿足.假定不等式2(a+1)[(c<,1>+2c<,2>+c<,3>k<,0>+2M)a+(c<,4>h<,0>+2Nk<,0>)a<'2>+M<,1>]<1和Nk<,0>(1/M<,1><'3>+a/M<,1><'2>+ae<'M<,1>a>/M<,1>)+M(1/M<,1><'2>+ae<'M<,1>a>/M<,1>)<1,成立,則初值問題(1.2.1)-(1.2.2)在[v<,0>,w<,0>]

7、中必具有最小解和最大解<'->u,u<'*>∈C<'2>[J,E]并且由u<,n>(t)=F<,n-1>(t)+<'∞>∑<,i=1>(-1)<'i>∫<,0><'t>K<,i>(t,s)F<,n-1>(s)ds,Vt∈Jw<,n>(t)=G<,n-1>(t)+<'∞>∑<,i=1>(-1)<'i>∫<,0><'t>K<,i>(t,s)G<,n-1>(s)ds,Vt∈J其中K<,1>(t,s)=M(t-s)+M<,1>+N∫<,s><'

8、t>(t-r)k(r,s)drK<,i>(t,s)=∫<,s><'t>K<,1>(t,r)K<,i-1>(r,s)dr,V(t,s)∈D,(i=2,3…)F<,n-1>(t)=u<,0>+(M<,1>u<,0>+u<,1>)t+∫<,0><'t>[(t-s)(f(s,v<,n-1>(s),v'<,n-1>(s),(Tv<,n-1>)(s),(Sv<,n-1>)(s))-Mw<,n-1>(s)-N(Tv<,n-1>)(s))-M<,1>v

9、<,n-1>(s)]ds G<,n-1>(t)=u<,0>+(M<,1>u<,0>+u<,1>)t+∫<,0><'t>[(t-s)(f(s,w<,n-1>(s),w'<,n-1>(s),(Tw<,n-1>)(s),(Sw<,n-1>)(s))-Mw<,n-1>(s)-N(Tw<,n-1>)(s))-M<,1>w<,n-1>(s)]ds確定的迭代序列{v<,n>(t)}和{w<,n>(t)}在J上分別一致收斂于<'->u(t)和u<'*>

10、(t),且在J上有v<,0>(t)≤v<,1>(t)≤…≤v<,n>(t)≤…≤<'->u(t)≤…≤u<'*>(t)≤w<,n>(t)≤…≤w<,1>(t)≤w<,0>(t),Vt∈J.定理1.3.2 設(shè)E是實Banach空間,P是正則的且條件(H1),(H2)滿足.并且2(a+1)[(c<,1>+2c<,2>+c<,3>k<,0>+2M)a+(c<,4>h<,0>+2Nk<,0>)a<'2>+M<,1>]<1對任何r>0,集合f(J

11、,B<,r>,B<,r>,B<,r>,B<,r>)有界,這里B<,r>={x∈E:‖x‖≤r}.那么定理1.3.1的結(jié)論依然成立.該文在第二章考慮弱<'*>拓?fù)湟饬x下二階Volterra型積分-微分方程的周期邊值問題PBVP :-u″=f(t,u,Tu),f∈C[I×E<'*>×E<'*>,E<'*>](2.1.1)u(0)=u(2π),u′(0)=u′(2π).(2.1.2)其中I=[0,2π],f∈C[I×E<'*>×E<'*>,E

12、<'*>],(Tu)(t)=∫<,0><'t>k(t,s)u(s)ds,k∈C[D,R<'+>],D={(t,s)∈I×I:t≥s},k0=max<,(t,s)∈D> k(t,s).這里通過直接給出輔助線性問題的解的積分表達(dá)式,從而省去了其隱式形式.除此以外,文中考察了與參考文獻(xiàn)[7]不同的下、上解定義下的下解小于等于上解及上解小于等于下解的兩種情形.文中給出的主要假設(shè)有:(H1)v<,0>,w<,0>∈C<'2>[I,E<'*>],v

13、<,0>(t)≤w<,0>(t),t∈I,并且對Vt∈I,-v"<,0>≤f(t,v<,0>,Tv<,0>),v<,0>(0)≤v<,0>(2π),v'<,0>(0)≥v'<,0>(2π);-w"<,0>≥f(t,w<,0>,Tw<,0>),w<,0>(0)≥w<,0>(2π),w'<,0>(0)≤w'<,0>(2π).(H2)v<,0>,w<,0>∈C<'2>[I,E<'*>],w<,0>(t)≤v<,0>(t),t∈I,并且對Vt∈

14、I,-v"<,0>≤f(t,v<,0>,Tv<,0>),v<,0>(0)=v<,0>(2π),v'<,0>(0)≥v'<,0>(2π);-w"<,0>≥f(t,w<,0>,Tw<,0>),w<,0>(0)=w<,0>(2π),w'<,0>(0)≤w'<,0>(2π).(H3)對Vu,v∈[v<,0>,w<,0>],u≤v,存在M,N>0使得f(t,v,Tv)-f(t,u,Tu)≥-M(v-u)-N(Tv-Tu),這里Tv<,0>≤Tu≤

15、Tv≤Tw<,0>.(H4)對u,v∈[w<,0>,v<,0>],u≤v,存在M,N>0,使得f(t,v,Tv)-f(t,u,Tu)≤M(v-u)+N(Tv-Tu),這里Tw<,0>≤Tu≤Tv≤Tv<,0>.(H5)f:I×E<'*>×E<'*>→E<'*>并且f是連續(xù)的,即當(dāng)x<,n>→x<,0>時,f(t,x<,n>,Tx<,n>)→f(t,x<,0>,Tx<,0>),Vt∈I.文中首先給出了兩個比較定理,然后采用單調(diào)迭代方法和半

16、序方法得出以下兩個主要結(jié)論:定理2.3.1 設(shè)E<'*>是可分的,錐P<'*>是正規(guī)的,假設(shè)(H1),(H3),(H5)成立,并且M+2πNk<,0>).(M<,1>)/2π},2πNk<,0>,w<,0>]中存在單調(diào)序列{v<,n>(t)},{w<,n>(t)},使得lim<,n→∞>v<,n>(t)=ρ(t),lim<,n→∞>w<,n>(t)=γ(t),在I上依E<'*>中范數(shù)一

17、致成立.這里ρ(t),γ(t)分別是PBVP(2.1.1)-(2.1.2)的最小解和最大解.定理2.3.2 設(shè)E<'*>是可分的,錐P<'*>是正規(guī)的,假設(shè)(H2),(H4),(H5)成立,并且4π<'2>(M+2πNk<,0>)≤1,2πNk<,0>,v<,0>]中存在單調(diào)序列{w<,n>(t)},{v<,n>(t)},使得lim<,n→∞>w<,n>(t)=ρ(t),lim<,n→∞>v<,n>(t)=γ(t