高精度有限體積法格式的構(gòu)造方法及應(yīng)用研究.pdf

1、微分方程的數(shù)值方法已經(jīng)廣泛的應(yīng)用于長(zhǎng)期的天氣預(yù)報(bào)、海洋工程、地下天然氣的開(kāi)發(fā)、造船業(yè)等各類工程問(wèn)題。現(xiàn)有的有限差分法、邊界元法、有限體積法、無(wú)網(wǎng)格法等是求解微分方程數(shù)值解主要采用的方法。從最近幾十年得到的數(shù)值計(jì)算研究成果上看,有限體積法是一種比較活躍的數(shù)值計(jì)算方法,在微分方程的求解中得到了廣泛地應(yīng)用,并且有良好地計(jì)算效果,而用有限體積法得到的離散方程保持了微分方程的積分守恒性、每項(xiàng)也都有明確的物理意義,并且得到的離散方程具有一定的規(guī)范性

2、,方便于在計(jì)算機(jī)上編程實(shí)現(xiàn)計(jì)算。但是現(xiàn)有的高精度有限體積法格式很少,滿足不了工程上對(duì)高精度的要求,因此,構(gòu)造高精度有限體積法的離散格式是非常有必要的。
　　本文以對(duì)流擴(kuò)散方程為研究對(duì)象,在利用有限體積法得到離散格式的過(guò)程中,如果采用Lagrange多項(xiàng)式插值方法得到的函數(shù)代替方程中的未知函數(shù),那么再在控制體上做積分就會(huì)得到對(duì)流擴(kuò)散方程的離散格式,但是在估計(jì)離散格式的空間精度時(shí),會(huì)遇到需要估計(jì)插值多項(xiàng)式截?cái)嗾`差導(dǎo)數(shù)大小的問(wèn)題,而截?cái)?/p>

3、誤差導(dǎo)數(shù)的大小又難以估計(jì),為了解決這個(gè)問(wèn)題,給出了構(gòu)造一種高精度有限體積法格式的新方法——多重積分有限體積法,本文的創(chuàng)新之處在于,首先在方程兩邊對(duì)空間變量做變限積分,然后再在控制體內(nèi)做積分,這樣做積分可消除方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng),而在控制體內(nèi)我們又加入了一個(gè)控制變量,可以自由的控制積分區(qū)域的大小,這樣得到的離散方程的方法具有一定的普遍性。其次利用Lagrange多項(xiàng)式插值方法得到插值函數(shù)代替方程中的未知函數(shù),結(jié)合對(duì)時(shí)間項(xiàng)的處理(采用中心

4、差分格式,這樣得到的時(shí)間精度要比一般的差分格式要高,也能與空間精度相吻合)給出了全離散格式,且對(duì)離散方程進(jìn)行了誤差估計(jì),最后利用Fourier分析法討論了全離散格式的穩(wěn)定性。由此方法得到,對(duì)一維對(duì)流擴(kuò)散方程來(lái)說(shuō),由于作插值函數(shù)的時(shí)候只用了三個(gè)節(jié)點(diǎn),故時(shí)間精度是一階,空間精度是一階,且全離散格式是無(wú)條件穩(wěn)定的;對(duì)二維對(duì)流擴(kuò)散方程來(lái)說(shuō),作插值函數(shù)的時(shí)候用了九個(gè)節(jié)點(diǎn),故時(shí)間精度是二階,空間精度是四階,且離散格式是無(wú)條件穩(wěn)定的,而給出相應(yīng)的算例