幾種高精度求積公式的構(gòu)造與研究.pdf

1、博士學(xué)位論文幾種高精度求積公式的構(gòu)造與研究ConstructionsandStudiesofSeveralKindsofNumericalIntegrationFormulaeofHighDegree作者姓名：學(xué)科、專業(yè)：學(xué)號(hào)：指導(dǎo)教師：完成日期：于冉計(jì)算數(shù)學(xué)10601055羅鐘鉉教授2013年12月大連理工大學(xué)DalianUniversityofTechnology大連理工大學(xué)博士學(xué)位論文摘要數(shù)值積分是用數(shù)值逼近的方法近似計(jì)算一個(gè)積分

2、的數(shù)值無論在數(shù)學(xué)領(lǐng)域本身，還是機(jī)械工程等應(yīng)用領(lǐng)域，數(shù)值積分都占據(jù)著非常重要的地位，其主要研究內(nèi)容是如何構(gòu)造具有一定標(biāo)準(zhǔn)的求積公式鑒于求積公式對(duì)多項(xiàng)式計(jì)算的精確程度，目前已知的眾多標(biāo)準(zhǔn)中，代數(shù)精度和三角精度是兩個(gè)經(jīng)典的標(biāo)準(zhǔn)雖然數(shù)值積分的研究已經(jīng)有超過數(shù)百年的歷史，但至今仍有許多未能解決的問題本文主要研究兩部分內(nèi)容：具有一定代數(shù)精度的二維或更高維求積公式的構(gòu)造以及具有一定三角精度的一維求積公式的構(gòu)造詳細(xì)內(nèi)容如下高維求積公式的構(gòu)造一直是數(shù)值積

3、分研究領(lǐng)域的重點(diǎn)和難點(diǎn)實(shí)際應(yīng)用中，最常用的求積公式是乘積型區(qū)域上的乘積型求積公式為了具有盡可能高的代數(shù)精度，該類型公式大多借助于一維Gauss型求積公式的簡單張量積形式雖然構(gòu)造方式非常簡單，但其所含有的節(jié)點(diǎn)數(shù)隨維數(shù)成指數(shù)級(jí)增長，以致于非常不利于實(shí)際應(yīng)用，尤其當(dāng)維數(shù)較大時(shí)為了減少節(jié)點(diǎn)數(shù)，Smolyak公式逐漸興起其優(yōu)點(diǎn)在于該公式不僅仍是一維求積公式的某種張量積形式，而且，其節(jié)點(diǎn)數(shù)較乘積型公式有明顯減少本文主要研究一般乘積型區(qū)域上具有4次代

4、數(shù)精度的求積公式對(duì)于此情形，Gauss乘積型公式需要用到3n個(gè)節(jié)點(diǎn)；Smolyak公式至多大約需要2n2個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中n代表維數(shù)而本文中的公式僅至多大約需要佗2個(gè)節(jié)點(diǎn)，是目前所知的最小節(jié)點(diǎn)數(shù)不僅如此，其構(gòu)造方法本身非常易于實(shí)際應(yīng)用本文方法將高維求積公式構(gòu)造問題轉(zhuǎn)化為一系列一維矩問題這不僅大大減少了計(jì)算量，還保證了構(gòu)造過程的順利進(jìn)行除此之外，本文所構(gòu)造的公式都具有顯示表達(dá)式，這一點(diǎn)是Smolayk公式所不具備的實(shí)際應(yīng)用中，如何估計(jì)一個(gè)求積公

5、式對(duì)其計(jì)算所產(chǎn)生的誤差是非常重要的目前，比較流行的方法是用兩個(gè)或多個(gè)求積公式的差去估計(jì)其中次數(shù)較低的求積公式的誤差為了最大程度地減少計(jì)算量，這些公式的節(jié)點(diǎn)往往被要求具有嵌套性此時(shí)，稱其為嵌入式求積公式?，F(xiàn)在已知的嵌入式求積公式基本上是通過添加或刪除節(jié)點(diǎn)構(gòu)造的。然而，關(guān)于高維嵌入式求積公式，如何添加或刪除節(jié)點(diǎn)實(shí)際上并沒有非常有效的方法大部分已知方法都是直接處理高維問題本文將利用理想理論和多項(xiàng)式沿代數(shù)曲線插值理論構(gòu)造二維嵌入式求積公式本文方

6、法將既定次數(shù)的構(gòu)造問題轉(zhuǎn)化成次數(shù)較低的構(gòu)造問題，在一定程度上減少了計(jì)算量并且，在某些特殊情形下，本文方法僅需要處理一維問題，從而進(jìn)一步減少計(jì)算量不僅如此，本文還給出一定條件下構(gòu)造二維嵌入式求積公式的遞推算法當(dāng)被積函數(shù)具有一定周期性時(shí)，一般采用具有一定三角精度的求積公式去逼近其積分值研究表明，當(dāng)權(quán)函數(shù)非負(fù)時(shí)，n個(gè)節(jié)點(diǎn)所能達(dá)到的最高三角精度是n一1但當(dāng)其中有部分節(jié)點(diǎn)給定時(shí)，并沒有這個(gè)最高三角精度的統(tǒng)一答案針對(duì)給定1或2個(gè)節(jié)點(diǎn)，通過復(fù)分析技術(shù)