分數(shù)階微分對Hamiltonian系統(tǒng)動力學行為的影響.pdf

1、科學研究證實分數(shù)階算子反映出了系統(tǒng)內(nèi)部的耗散過程，許多類型的物理系統(tǒng)能展現(xiàn)出分數(shù)階動力學行為。雖然分數(shù)階動力學系統(tǒng)的控制與同步已經(jīng)成為科研領(lǐng)域研究的重點之一，然而分數(shù)階系統(tǒng)控制與同步的策略以及方法還較少，尚處在研究的初級階段，而且他們與分數(shù)階微積分理論的變分原理關(guān)系還有待深入研究。近幾年，國外一些研究者嘗試將分數(shù)階微分應(yīng)用到保守系統(tǒng)，研究分數(shù)階保守系統(tǒng)的動力學行為，初步取得了一些成果。但是，在國內(nèi)這方面的研究才剛剛起步。
　　本文

2、首先通過將哈密頓系統(tǒng)模型的微分方程變換成卡普托(Caputo)定義的分數(shù)階微分方程，得到分數(shù)階系統(tǒng)模型，我們將此系統(tǒng)簡稱為分數(shù)階哈密頓系統(tǒng)，然后利用數(shù)值模擬的方法研究了分數(shù)階微分對哈密頓系統(tǒng)動力學行為的影響。主要工作如下:
　　第一部分研究了分數(shù)階微分對哈密頓系統(tǒng)的動力學行為的影響（主要集中在論文的第二章）。通過對三個哈密頓系統(tǒng)的數(shù)值模擬，并將分數(shù)階哈密頓系統(tǒng)與整數(shù)階哈密頓系統(tǒng)的動力學行為進行了對比，得到了一些有意義的結(jié)果。(1)

3、以耦合Morse振子為模型數(shù)值模擬了分數(shù)階振蕩器在耦合狀態(tài)的行為。我們分析了不同階次的分數(shù)階耦合Morse振子，發(fā)現(xiàn)分數(shù)階耦合Morse振子系統(tǒng)中單個振子的能量之和隨著時間衰減，并且隨著微分階次的降低能量衰減得越快。這說明分數(shù)階耦合Morse振子系統(tǒng)為耗散系統(tǒng)。(2)以分數(shù)階Sprott系統(tǒng)為模型，分別對不同階次的分數(shù)階Sprott系統(tǒng)進行數(shù)值模擬，給出各分數(shù)階Sprott系統(tǒng)的x-y相圖。當微分階次的取值范圍介于0.9106與1.00

4、之間時，x-y相圖為環(huán)形。分數(shù)階Sprott系統(tǒng)的x-y曲線在某一禁區(qū)內(nèi)運動，與整數(shù)階Sprott系統(tǒng)動力學行為類似。當微分階次小于0.9106時，分數(shù)階Sprott系統(tǒng)的x-y曲線匯聚于一點。應(yīng)用分數(shù)階系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性原理分析分數(shù)階Sprott系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性。當微分階次的取值范圍介于0.9106與1.00之間時，觀察x變量的時域圖可知x變量隨時間的變化是周期運動。當微分階次小于0.9106時，觀察x變量的時域圖發(fā)現(xiàn)x變量隨時間的

5、變化類似于阻尼運動。(3)以分數(shù)階Henon-Heiles系統(tǒng)為模型研究分數(shù)階Henon-Heiles系統(tǒng)的龐加萊截面、能量、動量和振幅變化情況。分別對不同階次的分數(shù)階Henon-Heiles系統(tǒng)進行數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)分數(shù)階微分會破壞系統(tǒng)內(nèi)部的共振，使能量衰減。
　　第二部分研究了分數(shù)階哈密頓系統(tǒng)的同步行為（主要集中在論文的第三章），得到以下結(jié)論:(1)采用反饋控制實現(xiàn)了分數(shù)階Sprott系統(tǒng)在不同初始條件下的同步，并用理論證明了誤差