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文檔簡介
1、基礎(chǔ)數(shù)學(xué)包含三個分支:代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)和分析學(xué)。分析是三個分支中最后發(fā)展起來的學(xué)科,是為了克服代數(shù)和幾何的分離狀態(tài),將它們結(jié)合起來,用于描述運動的學(xué)科,是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的開端,是計算數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。
當(dāng)人們開始研究分析學(xué)中的級數(shù)論時,發(fā)現(xiàn)對級數(shù)進行精確的計算幾乎是不可能的,但是級數(shù),特別是能對函數(shù)空間構(gòu)成基的級數(shù)具有計算上無可置疑、無可替代的重要性,如眾所周知,Taylor級數(shù)、Fourier級數(shù)和小波在理論和實踐中,在科學(xué)
2、和技術(shù)上對整體發(fā)展和應(yīng)用產(chǎn)生過或依然正在產(chǎn)生著巨大的作用,其中,F(xiàn)ourier級數(shù)在工程技術(shù)上的大量重要應(yīng)用構(gòu)成了現(xiàn)代技術(shù)的強大基礎(chǔ)。
為了有效地對Fourier級數(shù)進行近似計算,首先必須研究其收斂性,這個課題有長久的歷史,從19世紀(jì)起,研究Fourier級數(shù)及其由其構(gòu)成的各種工具(求和方法、算子等)的各種收斂性,形成了數(shù)學(xué)分析中一個吸引包括許多著名數(shù)學(xué)家在內(nèi)的學(xué)者研究的一條熱烈但困難的主流。其中,在三角級數(shù)(Fourie
3、r級數(shù))一致收斂性和平均收斂性問題中人們一直關(guān)心Fourier系數(shù)的單調(diào)遞減條件最終的推廣,這類研究及相關(guān)討論,開始于英國Chaundy-Jollife1916年的工作[8]和Young1913年的工作[44](參見Zygmund[49]),產(chǎn)生了大量優(yōu)秀的工作。
周頌平和其合作者一起,從2003年開始研究這個課題,最終證明了(S. P. Zhou-P.Zhou-Yu[47]):這個方向一個最終的推廣是他們提出的MVBV條
4、件(均值有界變差條件),而且這個條件不能再減弱。
本文選擇進行Fourier分析有關(guān)收斂性課題及其相關(guān)方面的研究正是基于它在理論上有重要意義,而最近現(xiàn)代構(gòu)造性方法的完善又使解決某些以前認為困難的問題有了相當(dāng)大的可能。因此,我們繼續(xù)研究應(yīng)用MVBV條件對三角級數(shù)一些重要經(jīng)典結(jié)果的推廣。全文共分五章,首先應(yīng)用MVBV條件對一個重要的三角不等式和一個重要漸近等式進行推廣,然后研究經(jīng)典的可積性問題,最后考慮了MVBV條件在強逼近及
5、其相關(guān)嵌入定理中的應(yīng)用。
第一章:引論
本章回顧了三角級數(shù)或Fourier級數(shù)收斂性問題的歷史,給出了本文中所涉及的常用符號和定義,闡述了系數(shù)數(shù)列單調(diào)性條件的發(fā)展及各數(shù)列集合間的關(guān)系。
第二章:MVBV條件在一個重要三角不等式中的應(yīng)用
本章對一個重要的三角不等式sup|(?)(?)|≤3(?)進行了推廣,證明了:若C={C}(?)∈MVBVS,且有nCn≤K,n=1,2,….假設(shè)自
6、然數(shù)列{nm}滿足(?)(?)≤(?),m=1,2,…,A>1,則對任意x成立
(?)|(?)Cκsinκx|≤K1(C)A.
最后,我們指出:為了保證上面的不等式成立,MVBV條件已經(jīng)不可減弱。
第三章:MVBV條件在一個重要漸近等式中的應(yīng)用
本章推廣了一類三角級數(shù)的漸近和,指出:設(shè)復(fù)數(shù)數(shù)列{Cn}(?)∈MVBVS,ω(t)是(0,∞)上的連續(xù)性模函數(shù)滿足條件
t
7、(?)(?)du=O(ω(t)),(?)(?)du=O(ω(t)).
如果(?)(?)=A,則
f(x)=(?)Cneinx~A(?)ω(n-1)einx, x→0.
第四章:MVBV條件在函數(shù)可積性中的應(yīng)用
本章研究經(jīng)典可積性問題。設(shè)g(x)=∑(?) ansinnx, f(x)=∑(?) an cos nx,我們證明了以下經(jīng)典定理的推廣:設(shè){an}∈MVBVS.那么,對于0≤a
8、<2,
g(x)/xα∈L2π(?)(?)nα-1a,<∞;
對于0 f(x)/xa∈L2π(?)(?)na-1an<∞.
但是,當(dāng)α=0時對于正弦級數(shù),卻有不盡相同的意外情形發(fā)生,即:當(dāng){an}∈MVBVS時,g(x)∈L2π(?)(?)n-1an<∞,但反之一般未必成立。這個不完善性促使我們在本章末提出了一個猜想。
第五章:MVBV條件在強逼近及其相關(guān)嵌
9、入定理中的應(yīng)用
本章我們繼續(xù)考慮MVBV條件在強逼近問題和相關(guān)嵌入定理方面的應(yīng)用,建立如下的完整結(jié)果:設(shè)β,p>0, r≥0,ω是一個連續(xù)性模函數(shù),λn為滿足條件A2n≤An的正數(shù)列。如果{Anωp(1/n)n-rp}∈AMS成立,則有
WrH(?)∩CMVBVs(?)H(λ,ρ,Υ,ω).
綜合起來說,許多經(jīng)典結(jié)果構(gòu)成了Fourier分析的整個體系的支柱,在研究過程中,我們精心選擇了一些比較有
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