積分幾何中幾個問題的研究.pdf

1、在本文中，我們主要討論了三個問題．首先，d維歐氏空間Rd上凸體的雙弦冪積分；其次，由平坦凸體的平均曲率積分的性質(zhì)討論了投影體的外平形體的平均曲率積分；最后，拓展了陳省身的一個積分公式． 本文第二章對凸體的雙弦冪積分進(jìn)行了研究．雙弦冪積分的概念是在弦冪積分論基礎(chǔ)上建立的一個新的概念，從某個角度看，弦冪積分是雙弦冪積分的特殊情形．雙弦冪積分所獲得的幾何信息更豐富．本文得到了雙弦冪積分的一些重要不等式，得到了以下結(jié)果： 定理2

2、.5設(shè)K是Rd上的凸體，m，n是非負(fù)整數(shù)，則 I2m，0(K)I2n，0(K)≥I2m+n，0(K)．(2.16) 定理2.6設(shè)K是Rd上的凸體，m，n，p是非負(fù)整數(shù)且0≤m≤n≤p，則 Ip—nm，0(K)In—mp，0(K)≥Ip—mn，0(K)．(2.17) 定理2.7雙弦冪積分有下列不等式成立： I2m，n(K)≤I2m，0(K)I2n，0(K)．(2.18) 特別地，

3、 Im，m(K)≤I2m，0(K)．(2.19) 當(dāng)m＞n， I2m，n(K)≤I4n，0(K)I2(m—n)，0(K)．(2.20) 定理2.8雙弦冪積分有下列不等式成立： I2m，n(K)≤Im-1，n-1(K)Im+1，n+1(K)．(2.21) 定理2.9雙弦冪積分有下列不等式： 在本文的第三章，我們討論了Rd上凸體在Lr上正交投影后然后再做外平行體的平均曲率積分問題．這也

4、是一類很有意思的問題，Santaló、周家足教授、江德爍、李澤芳等都進(jìn)行過研究．其中，周家足教授和江德爍研究了在Rd中凸體先做外平行體再往平面Lr上作投影體的平均曲率積分問題，作者受到他們的啟示研究了在Rd中凸體先往平面Lr上作投影體再在平面Lr上做外平行體的平均曲率積分問題，這是兩個不同的問題，得到的結(jié)果也不一樣，作者得到了下列定理： 定理3.4設(shè)K為d維歐氏空間Ed中具有C2光滑邊界aK的凸體，K'r為r維平面Lr∪Ed的投

5、影體，(K'r)ρ為K'r在Ed中的外平行體．M(t)i(a(K'r))(i=0，1…．，r-1)是K'r作為平坦凸體的平均曲率積分，令M(d)i(a(K'r)ρ，)(i=0，1，…，d-1)是a(K'r)ρ在Ed中的平均曲率積分且a(Kr)ρ∈C2．因此，我們有 1)當(dāng)i＜d—r-1，則 其中，Vr(K'r)表示K'r的r維體積． 2)當(dāng)i=d—r-1，則 其次，設(shè)△是兩過固定o點的相交線性子空間所夾的

6、夾角，△在相交線性子空間上的積分扮演著非常重要的角色，這屬于積分幾何中一類重要的問題：用已知的幾何不變量來清楚地表示幾何量關(guān)于運動的密度的積分．在本文的第四章，我們拓展了陳省身公式(為上述積分中的一個)，得到了兩相交線性子空間夾角的任意次冪在相交線性子空間上的積分，即下列定理： 定理4.1設(shè)Lq[0]是過定點O的固定的q維平面，Lq[0]是過O點活動的p維平面．設(shè)p+q—d＞0，△是這兩個線性子空間的角度，dL(2d—q—p)d