貝努利多項式與冪和等式.pdf

1、貝努利數(shù)及貝努利多項式在許多領(lǐng)域，如數(shù)論、組合學(xué)、數(shù)量分析理論中有許多重要的應(yīng)用，在過去的兩個多世紀(jì)中數(shù)學(xué)家們對此進(jìn)行了廣泛而又深入的研究。十七世紀(jì)，數(shù)學(xué)家Jacob Bernoulli在研究自然數(shù)的冪和式時發(fā)現(xiàn)了這類特殊的數(shù)在等式中的應(yīng)用。此后，在有關(guān)貝努利數(shù)及多項式的研究中，包含貝努利數(shù)或多項式的恒等式引起了眾多研究者的興趣。研究者用許多不同的方法得到包含貝努利數(shù)及多項式的恒等式。本論文的主要內(nèi)容是關(guān)于推導(dǎo)一些新的關(guān)于貝努利多項式的

2、恒等式并給出與貝努利多項式有關(guān)的Faulhaber定理的一般推廣。
　　 第一章中我們介紹了貝努利數(shù)和歐拉數(shù)及多項式的基本定義和性質(zhì)，以及一些不同的擴(kuò)展貝努利多項式。同時我們介紹了一個與冪和相關(guān)的重要定理，F(xiàn)aulhaber定理，并將此定理推廣到一般等差級數(shù)的冪和。
　　 在第二章中，我們首先列出了一些已知的貝努利恒等式，這些恒等式同時包含了一般卷積和二項式卷積。之后我們得到一個Carlitz恒等式的擴(kuò)展形式，并由此推導(dǎo)

3、出一個可推出一些已知等式的更一般化的對稱貝努利恒等式。最后得到兩個包含擴(kuò)展貝努利多項式的對稱恒等式。
　　 貝努利多項式與Stirling數(shù)有著密切的聯(lián)系。利用Stirling數(shù)的反演關(guān)系，我們在第三章中得到兩對包含貝努利多項式及第二類貝努利多項式乘積的反演關(guān)系式。
　　 第四章中，我們證明了Falhaber定理對于任意等差級數(shù)的奇數(shù)冪和仍然成立，即等差數(shù)列α+b，α+2b，…，α+nb的奇數(shù)冪和是nα+n(n+1)b/

4、2的多項式。其系數(shù)是由貝努利多項式給出。利用Knuth的方法，我們用中心階乘數(shù)給出了r重冪和的公式。同樣的我們給出了r重交錯冪和的公式。
　　 最后，我們研究了二項式的冪和等式。利用超幾何級數(shù)的多重變換公式，我們得到(r+1 r)，(r+2 r)…，(r+n r)的冪和含有因子(n+r+1 r+1)。若m為每一項的乘方數(shù)，當(dāng)rm為奇數(shù)且r≥3時，二項式的冪和含有因子(n+r+1 r+1)2.應(yīng)用相同的變換公式，我們給出了Schm