關(guān)于Euler-Poisson方程組的研究.pdf

1、本論文主要研究以下Euler-Poisson方程組：ρt+divx(ρv)=0，ρvt+(ρv·▽x)v+▽xP+ρ▽xΦ=0，(ρS)t+divx(ρvS)=0，ΔxΦ=n(n-2)ωngρ，其中t≥0表示時(shí)間，x∈Ω是空間變量，Ω是Rn(n≥3)中的有界光滑區(qū)域.ρ=ρ(t，x)表示氣態(tài)星體的密度，v=v(t，x)∈Rn，Φ=Φ(t，x)和S=S(t，x)分別表示氣體的運(yùn)動(dòng)速度、重力勢(shì)能和熵函數(shù)，g是引力常數(shù)，ωn表示Rn中單位球的

2、體積，P是壓力，它滿足狀態(tài)方程：P=P(ρ，S)=eSργ，其中γ＞1是絕熱常數(shù).該方程組來(lái)源于天文物理學(xué).當(dāng)n=3時(shí)，它是描述具有自引力勢(shì)能的氣態(tài)星體內(nèi)部結(jié)構(gòu)發(fā)展的流體動(dòng)力學(xué)模型.它包括由質(zhì)量守恒方程、動(dòng)量守恒方程和能量守恒方程構(gòu)成的Euler方程組以及由星體本身的密度分布決定的自引力勢(shì)能所滿足的Poisson方程. 本文主要考慮方程組的平衡解，即與時(shí)間t無(wú)關(guān)的解.具體而言，就是在某些條件下，如星體繞軸旋轉(zhuǎn)[34]或是速度為零

3、[17]，第一個(gè)和第三個(gè)方程是自動(dòng)滿足的，于是只需要考慮第二個(gè)和第四個(gè)方程. 我們首先考慮簡(jiǎn)單的情形：Ω=BR(0)是Rn中的一個(gè)以原點(diǎn)為圓心、R＞0為半徑的球.作變量代換：ω=γ/γ-1(K1/2-γes/γργ-1，K=n(n-2)ωng(γ-1/γ)1/γ-1.于是第二個(gè)和第四個(gè)方程就可化為一個(gè)半線性橢圓方程divx(eαS▽?duì)?+e-αSωq-Kγ-1/2-γf(x)=0，f(x)=-div(v·▽v)=σ.這里需要克服

4、σ＞0所產(chǎn)生的困難，因?yàn)檫@時(shí)強(qiáng)極值原理不再適用.我們應(yīng)用打靶方法，證明了一定條件下上述方程滿足邊值條件ω|()Ω=0的徑向?qū)ΨQ(chēng)解的存在性(依賴(lài)于γ)及其性質(zhì).同時(shí)本文還討論了一定條件下徑向?qū)ΨQ(chēng)解的非存在性. 其次，對(duì)于更一般的速度場(chǎng)v和有界光滑區(qū)域Ω()Rn，經(jīng)過(guò)變量代換：u=γ/γ-1esργ-1，把第二個(gè)和第四個(gè)方程化成一個(gè)帶參數(shù)σ＞0的半線性橢圓方程div(e-s/γ▽u)-1/γ(△S)e-s/γu+Ke-s/γ-1e-