非線性?xún)?yōu)化的直接搜索算法及其在分形粗糙面散射問(wèn)題中的應(yīng)用.pdf

1、陸地、海面及某些人工材料往往具有非常復(fù)雜的粗糙表面，電磁波在這些粗糙表面的散射特性在光學(xué)、電磁學(xué)與聲學(xué)等領(lǐng)域均有十分重要的研究與應(yīng)用，比如光學(xué)界面特性，電磁散射與波傳播，海底聲波探測(cè)等． 在研究粗糙面電磁散射問(wèn)題時(shí)，常常需要將符合實(shí)際情況的粗糙面構(gòu)造出來(lái)．粗糙面具有非線性的幾何結(jié)構(gòu)，電磁波與粗糙面的相互作用也是非線性的，因此采用非線性的理論和方法研究電磁波與粗糙面的相互作用更能反映其物理本質(zhì)．在過(guò)去的研究中，粗糙面的數(shù)學(xué)模型經(jīng)常

2、用周期函數(shù)和隨機(jī)函數(shù)描述，而這里用B．B．Mandelbrot提出的分形的概念，用分形幾何描述自然界中粗糙面的不規(guī)則結(jié)構(gòu)．由于分形幾何具有自相似性，可以兼顧大范圍有序和小范圍的無(wú)序的特點(diǎn)，因此用分形帶限函數(shù)來(lái)描述既不是周期的又不是完全隨機(jī)的實(shí)際的粗糙面．目前分形幾何已經(jīng)成功應(yīng)用于分形表面與波的相互作用的研究．分形粗糙面可以通過(guò)與物理現(xiàn)象密切相關(guān)的一些參數(shù)進(jìn)行特征化，它的最大優(yōu)勢(shì)在于觀察得到的一個(gè)非常復(fù)雜的形狀，能夠被分形幾何的一些特征參

3、數(shù)簡(jiǎn)單描述：即在給定精度條件下，一個(gè)非常復(fù)雜的形狀可以用少量的信息來(lái)表示． 分形粗糙面的特征參數(shù)不僅由通常粗糙面的隨機(jī)起伏的相關(guān)函數(shù)及其相關(guān)長(zhǎng)度f(wàn)、起伏方差δ來(lái)表示，而且往往還應(yīng)用分維數(shù)D來(lái)表示．在應(yīng)用極小化目標(biāo)函數(shù)的方法對(duì)分形粗糙面的分形維數(shù)進(jìn)行反演時(shí)，目標(biāo)函數(shù)本身就是經(jīng)過(guò)復(fù)雜的偏微分方程數(shù)值解法求得的，要計(jì)算其導(dǎo)數(shù)非常困難，而使用數(shù)值微分的一些方法會(huì)帶來(lái)較大的誤差，因此有必要采用不用導(dǎo)數(shù)信息的直接搜索算法來(lái)求解． 本

4、文針對(duì)這一問(wèn)題，給出一種求解無(wú)約束極小值的高效的直接搜索算法，證明了算法的收斂性定理，并通過(guò)若干算例驗(yàn)證了算法的收斂性．最后將此算法應(yīng)用于粗糙面散射問(wèn)題，對(duì)分形粗糙面的分形維數(shù)進(jìn)行反演，得到了很好的反演效果．整篇文章的組織結(jié)構(gòu)如下： 第一章是緒論部分，主要對(duì)粗糙面散射問(wèn)題的研究背景和物理意義進(jìn)行了介紹，并給出了分形的相關(guān)理論及其應(yīng)用． 第二章先是介紹了粗糙面散射問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模過(guò)程，然后用有限元素法對(duì)正問(wèn)題進(jìn)行了推導(dǎo)和計(jì)算

5、，最后給出了求解反問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)并對(duì)最優(yōu)化理論進(jìn)行了介紹． 第三章給出了非線性?xún)?yōu)化的直接搜索算法及收斂性證明，第一節(jié)給出了直接搜索算法的具體步驟，第二節(jié)證明了收斂性定理，為算法的實(shí)際有效的應(yīng)用提供了理論依據(jù)． 第四章的第一節(jié)中，構(gòu)造了簡(jiǎn)單的算例進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，并與前進(jìn)后退法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較，驗(yàn)證了算法的有效性；第二節(jié)就參數(shù)η的選取和全局最優(yōu)化問(wèn)題做了進(jìn)一步的討論；第三節(jié)給出了算法在分形粗糙面的分形維數(shù)反演中的數(shù)值模擬