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文檔簡介
1、迭代根問題是一個古老而有意義的課題,對它的研究至少可以上溯到N.H.Abel,甚至更早的B.Babage.對于非空集X上的一個自映射F:X→X來說,它的n次迭代根就是求解如下函數(shù)方程f<'n>(x)=F(x), x∈X一般地說,以未知函數(shù)的迭代為主要運算形式的函數(shù)方程稱為迭代方程.近年來隨著非線性科學的發(fā)展及迭代理論的進一步深入,迭代問題尤其是迭代方程的計算問題在許多學科研究中越來越受到重視,引起了信息科學、電子工程等領域的學者們?nèi)鏛.
2、Kinderman,P.Protzel和N.Iannella等的關(guān)注.在單調(diào)情形和部分非單調(diào)情形M.Kuczma.和Gy.Targonski等人已經(jīng)給出了區(qū)間上迭代根構(gòu)造的一般方法.在此基礎上,J.Kobza在n=2和F為遞增折線函數(shù)的情形下對迭代根給出了算法.對于一般多項式型迭代方程的計算,S.Nabeya和J. Matkowski等提出了特征解方法,在n=2的所有情形及n>2的部分情形下給出了解的構(gòu)造,這為進一步研究這些方程解的計算
3、提供了思想和方法.從J.Kobza的工作來看,計算迭代根的一個重要思想是首先解決折線問題,然后利用折線逼近一般的連續(xù)解,這勢必需要解決解的穩(wěn)定性問題.徐冰和張偉年給出了迭代根以及多項式型迭代方程的Hyers-Ulam穩(wěn)定性的結(jié)果,這為進一步研究迭代方程的計算打下了基礎.在本文的第一章我們介紹了迭代、動力系統(tǒng)、函數(shù)方程等基本概念及緊密聯(lián)系,并綜述了近年來迭代方程的若干進展,包括多項式型迭代方程、迭代根、特征解與穩(wěn)定性等方面的研究成果.
4、 在J.Kobza等人工作的基礎上,本文的第二章我們進一步研究了各種單調(diào)情形下折線函數(shù)的n次迭代根的計算方法.與J.Kobza.給出的在實直線R上計算遞增函數(shù)的平方迭代根不同的是,我們在緊區(qū)間[a,6]上討論.由于在緊區(qū)間上討論涉及到端點的迭代,因此比在R上更困難.不僅如此,我們還把J.Kobza,給出的計算遞增函數(shù)的平方迭代根的方法推廣到計算非單調(diào)函數(shù)的n階迭代根.同時,我們還研究了折線函數(shù)復合后的折點的計算公式.由于具有不同的定
5、義區(qū)間及折點分布,折線函數(shù)復合比迭代以后的折點計算要復雜得多,這也推廣了J.Kobza的結(jié)果. 對于一般形式下的多項式迭代方程而言,計算方法同樣是建立在解的存在性和一般解構(gòu)造的基礎之上,本文第三章在楊地蓮和張偉年工作的基礎上,進一步研究了三次多項式型迭代方程連續(xù)解的一些性質(zhì).對特征根r<,j>≠0 (j=1,2,3)的一些情形給出了實連續(xù)解的性質(zhì).在|r<,1>|=1時,對情形r<,2>>0,r<,3>≠1,r<,3>>r<,2>和r<
6、,2>≠-1,r<,3><0,r<,3>>r<,2>給出了實連續(xù)解的性質(zhì),這對進一步考慮一些臨界情形下的通解構(gòu)造具有重要意義. 最近,K.Nikodem和張偉年研究了二階集值迭代方程,證明了方程存在嚴格遞增的上半連續(xù)解.在他們工作的激勵下,在本文的第四章我們針對嚴格單調(diào)增的上半連續(xù)函數(shù),進一步研究了方程的Hyers-Ulam穩(wěn)定性和Hyers-Ulam-Rassias穩(wěn)定性.由于集值函數(shù)與單值函數(shù)的迭代存在較大的差異,因此處理單
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