多連通區(qū)域上的算子與K-理論.pdf

1、函數(shù)空間上的算子理論一直是泛函分析的一個(gè)重要課題，它作為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，已經(jīng)歷了相當(dāng)長(zhǎng)的研究歷程，并形成了一整套豐富的理論體系[1-6]。 不同函數(shù)空間上的算子具有不同的特征，算子性質(zhì)的研究大體上可以分為有界性、緊陛、譜性質(zhì)、代數(shù)性質(zhì)(如正規(guī)性、亞正規(guī)性)等幾個(gè)方面．但經(jīng)典的函數(shù)空間都是在以單位圓盤或單位圓周為基礎(chǔ)進(jìn)行討論的，其各種性質(zhì)都已經(jīng)作了深入的研究，然而就一般區(qū)域上的算子，尤其是多連通上的算子，其研究尚不多見。主要是一些

2、的經(jīng)典方法和常見結(jié)論都不能直接運(yùn)用，這就決定了對(duì)這類算子的研究就變得十分困難。同時(shí)K-理論是研究圖形的拓?fù)湫再|(zhì)與其上的算子性質(zhì)之間的關(guān)系的一坐橋梁，事實(shí)上，區(qū)域的拓?fù)湫再|(zhì)對(duì)于刻劃算子空間K-理論有著非同尋常的意義，因此，對(duì)一般連通區(qū)域上的算子及其K-理論的研究是一項(xiàng)十分重要的工作。 同時(shí)，由于區(qū)域的一般性，這就決定了一些重要算子，如Toeplitz算子、Hankel算子、復(fù)合算子等等的復(fù)雜性，與經(jīng)典情形相比，這些區(qū)域上的算子其性

3、質(zhì)發(fā)生了較大的變化，因而對(duì)一般區(qū)域上的算子的研究就顯得尤為重要． 本文著重討論了有界多連通區(qū)域上的Toeplitz算子、Hankel算子、復(fù)合算子以及K-理論的有關(guān)性質(zhì)，主要分為以下幾個(gè)部分： 1、多連通區(qū)域上Toeplitz代數(shù)的K-群； 2、多連通區(qū)域上Dirichlet空間的Toeplitz算子：緊性、譜及指標(biāo)公式； 3、多連通區(qū)域上Dirichlet空間的復(fù)合算子的有界性、Fredholm性及K-

4、性質(zhì)。 對(duì)于定義在有界連通區(qū)域上的Bergman空間，本文首先指出了任意連通區(qū)域上的Toeplitz代數(shù)的K<,O>一群總是同構(gòu)于相應(yīng)的連續(xù)函數(shù)代數(shù)的K<,O>一群；其次，對(duì)一些特殊連通區(qū)域的本性邊界的上同調(diào)群和這些區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)代數(shù)的K<,O>一群都作了計(jì)算。 而對(duì)于定義在有界連通區(qū)域上的Dirichlet空間，本文首先給出了Toeplitz算子的Fredholm性的等價(jià)條件；其次計(jì)算了符號(hào)為C<'1>的Toepli