李對稱分析法在幾類偏微分方程求解中的應用.pdf

1、19世紀以來，隨著非線性偏微分方程在現(xiàn)實生活中的廣泛運用，對非線性偏微分方程求解問題的研究已逐漸成為熱點。然而，求解非線性偏微分方程極具挑戰(zhàn)性，目前雖然已經提出了許多求解非線性偏微分方程的方法，但由于沒有統(tǒng)一的求解非線性偏微分方程的方法，因此我們需要繼續(xù)尋找更行之有效的方法。本文正是基于此目的，依據李對稱方法研究了三類非線性偏微分方程的求解問題，三類偏微分方程分別為：ill-posed Boussinesq方程、二元Camassa-Ho

2、lm方程和五階時間分數階KDV方程。本文首先根據李對稱法的基本思想對以上方程進行分析，得到了這些方程的向量場，相似約化，進一步得出這些方程所對應的約化方程。其次，根據冪級數法的相關理論得出了方程的冪級數解。最后，結合隱函數定理證明了所得冪級數解的收斂性。
　　本文的主要內容如下：
　　第一章為緒論，首先簡要回顧了偏微分方程（包括分數階偏微分方程）的研究背景以及求解偏微分方程的幾類方法，其次介紹了李對稱分析法的研究背景并詳細的

3、闡述了李對稱方法的基本思想。
　　第二章為預備知識，該部分敘述了與李對稱方法以及分數階微分方程相關的定義。
　　第三章用李對稱分析法求解ill-posed Boussinesq方程，本章給出了ill-posed Boussinesq方程的具體表達形式以及所代表的物理意義，并用李對稱分析法將ill-posed Boussinesq方程化為常微分方程，最后得出該方程相應的冪級數解，證明了所得冪級數解的收斂性。
　　第四章用

4、李對稱分析法求解二元Camassa-Holm方程，同樣給出了該方程的具體形式以及物理意義，運用李對稱方法獲得了二元Camassa-Holm方程的幾種不同的約化方程，并且就其中某一個約化方程給出了詳細的冪級數解求解過程和收斂性證明過程。
　　第五章用李對稱分析法求解五階時間分數階KDV方程，結合預備知識中有關分數階偏微分方程的基礎理論對五階時間分數階KDV方程進行分析，得出了相應的分數階常微分方程，并給出了具體的轉化過程。最后，根據