滿足Costa型晨二次條件的四階非線性常微分方程周期解的存在性研究.pdf

1、二十世紀(jì)七八十年代，人們?cè)谘芯烤哂兴碾A色散的光纖的脈沖傳播時(shí)建立了廣義非線性薛定諤方程i(6)w/(6)x+(6)2w/(6)t2-(6)4w/(6)t4+|w|2w=0.并考慮其形如w(t，x)=u(t)eikx，k∈R.的解，則方程可轉(zhuǎn)化為u(4)-u('')+ku-u3=0.
　　近二十年來(lái)，人們利用臨界點(diǎn)理論研究上述類型的四階非線性微分方程已經(jīng)取得了很多很好的成果.
　　本文主要研究更一般的四階非線性常微分方程u(4

2、)(x)+Au('')(x)+Bu(x)-f(x,u)=0，x∈R.(1)周期解的存在性.其中A，B為常數(shù)，f(x，0)=0,令F(x,u)=([)f(x,s)ds,F(x,u)∈C1(R×R,R)滿足全局Costa型非二次條件:(F1)μ存在α＞0，μ＞2，使得f(x, u)u-2F(x,u)≥a|u|μ，(A)x∈R，u∈R\{0}.
　　為了較方便的研究此問(wèn)題，本文首先研究邊值問(wèn)題(P):u(4)(x)+Au('')(x)+

3、Bu(x)-f(x,u)=0，x∈[0，L]u(0)=u(L)=u('')(0)=u('')(L)=0的解的存在性.將上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究泛函I(u)=1/2(([)u('')2-Au(')2+ Bu2)dx-([)F(x，u)dx的臨界點(diǎn)的問(wèn)題，此泛函定義在空間X=H2([0,L])∩H10([0,L])上.易知I的臨界點(diǎn)就是上述問(wèn)題的弱解同時(shí)也是上述問(wèn)題的經(jīng)典解.然后利用臨界點(diǎn)理論中的山路定理、鞍點(diǎn)定理、環(huán)繞定理分別研究當(dāng)A＜0，B＞

4、0，A＞0，B＞0，A＞0，B＜0，以及A＜0，B＜0時(shí)泛函I的臨界點(diǎn)的存在情況.
　　若u(x)為泛函I的臨界點(diǎn)即邊值問(wèn)題(P)的解，根據(jù)條件(F)F(x，u)=F(x+2L，u),F(x，u)=F(-x,-u),(A)x∈R，u∈R.將u(x)在區(qū)間[-L,L]上進(jìn)行奇拓展(u)=(u)(x)={u(x),x∈[0,L];-u(-x),x∈[-L,0].然后將(u)=(u)(x)在R上進(jìn)行2L周期拓展即可得到方程(1)的2L周