非線性常微分方程的周期邊值問題.pdf

1、近年來，在數(shù)學、物理、化學、生物學、醫(yī)學、經(jīng)濟學、工程學和控制論等許多科學領域出現(xiàn)了各種各樣的非線性問題，在解決這些非線性問題的過程中，逐漸產(chǎn)生了現(xiàn)代分析數(shù)學中非常重要的方法和理論，主要包括：半序方法、拓撲度方法、錐理論和變分方法等，成為當今解決科技領域中層出不窮的非線性問題所需的富有成效的理論工具。 本文主要利用錐理論和拓撲度方法研究非線性微分方程周期邊值問題的解的存在性．有關微分方程邊值問題解的存在性、正解的存在性和唯—性在

2、二十世紀八十年代以來得到了廣泛的研究(如文[20]—[32])．文中進一步研究了微分方程周期邊值問題解的存在性。 第一章，討論了脈沖周期邊值問題多個正解的存在性。其中p∈(ln2/()3/n，1/()3)，f：J xR→R+， R+=[0，+∞)，R—=(—∞，0]，0=t0＜t1＜t2＜…＜tk＜tk+1=2π，Ii∈C[R，R+]，I*i∈C[R，R—]．在文[1]—[8]中，研究此問題的方法為上下解與單調迭代技巧．在文[9

3、]中，采用的是拓撲度方法．而在這些文章中，非線性項f均為連續(xù)函數(shù)，本章在這些文章的基礎上，假設非線性項f為Caratheodory函數(shù)，構造了一個特殊的錐，利用錐拉伸和錐壓縮不動點定理得到方程存在2n-1個正解，改進了文[10]中的結果。 第二章，討論了奇異混合型周期邊值問題在Banach空間中正解的存在性．其中O＜k＜1/4為常數(shù)，f在t=0，t=2π和u=θ處有奇異性．f∈C[(0，2π)×P\{θ}×E×P×P，P]．近年

4、來，許多學者對此問題進行了研究(文[13]—[18])，使用的方法均為上下解與單調迭代技巧，使用不動點定理研究此問題的還比較少見．本章在這些文章的基礎上，通過構造一個特殊的凸閉集，利用Monch不動點定理在抽象空間中得到了方程正解的存在條件。 第三章，討論了耦合系統(tǒng)周期邊值問題多個非平凡解的存在性。其中J=[O，T]，0＜k＜(π/T)2為常數(shù)，f，g∈C[J×R×R，R]，T＞0為常數(shù)．文[21]—[26]均是對微分系統(tǒng)兩點或

5、三點邊值問題進行研究，據(jù)我們所知，對周期邊值系統(tǒng)研究的還很少見．本章利用拓撲度的同倫不變性和缺方向性，得到了方程多個非平凡解的存在性，改善了文[27]中的結果。 第四章，討論了具有偏差變元的二階中立型泛函微分方程多個非平凡周期解的存在性。文[29]，[30]研究中立型泛函微分方程(NFDE)周期解的存在性的前提是時滯項τ為常數(shù)．文[31]把τ變?yōu)殛P于t的函數(shù)，利用疊合度的連續(xù)性定理研究了上述中立型泛函微分方程，獲得了周期解的存在