幾類非線性常微分方程組邊值問題的正解.pdf

1、非線性泛函分析是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要數(shù)學(xué)分支，包括拓?fù)涠壤碚?、半序方法、變分方法等諸多內(nèi)容.處理各類非線性的實(shí)際問題時(shí)，主要是處理相應(yīng)的非線性的微分方程和積分方程.非線性泛函分析在其中發(fā)揮著重要作用.
　　 非線性微分方程邊值問題是微分方程理論的一個(gè)重要組成部分，起源于應(yīng)用數(shù)學(xué)、物理學(xué)和控制論等應(yīng)用學(xué)科.由于非線性微分方程邊值問題在理論上和應(yīng)用中的重要價(jià)值，一直為許多學(xué)者關(guān)注，取得了很多有趣和深刻的研究成果.
　　 本文

2、主要運(yùn)用錐上的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論，研究非線性微分方程組邊值問題的正解和多重正解的存在性.共分為五章:
　　 在第一章中，研究下列高階非線性常微分方程組邊值問題的正解和多重正解的存在性
　　 {(-1)mw(2m)=f(t，w，w',…,(-1)m-1w（2m-1），z，z'，…，（-1）n-1z(2n-1)），{(-1)nz(2n)=g(t，w，w'，…，(-1)m-1w(2m-1)，z，z'，…，(-1)n-1z(2n-1

3、)），{w(2i)(0)=w(2i+1)(1)=0(i=0,1，…,m-1),{z(2j)(0)=z(2j+1)(1)=0(j=0,1,…,n-1).
　　 其中m，n≥2，f∈C（[0，1]×IRm+n+2，IR+），g∈C（[0，1]×IRm+n+2，IR+）.本章主要使用線性函數(shù)來刻劃非線性項(xiàng)f和g的增長，主要結(jié)果證明中的工具是錐上的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論.
　　 在第二章中，研究下列非線性二階常微分方程組正解和多重正解的

4、存在性
　　 {-u"=f(t，u，u'，v，v')，-v"=g（t，u，u'，v，v'），{u(0)=u'(1)=0,v(0)=v'(1)=0,
　　 其中f，g∈C([0,1]×(IR)4+，(IR)+)((IR)+:=[0，+∞)).非線性二階常微分方程組邊值問題來源于物理學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)和其它應(yīng)用科學(xué)，并在它們的理論和應(yīng)用中扮演著重要角色.因此，積累了大量文獻(xiàn)，參見[39，49，52，55，56，60-62，76

5、，77，84，85，90]和所附參考文獻(xiàn).其中大多數(shù)文獻(xiàn)的非線性項(xiàng)不含有一階導(dǎo)數(shù).本章用線性函數(shù)和凹函數(shù)刻劃非線性項(xiàng)的增長，運(yùn)用Jensen不等式和(IR)2+-單調(diào)矩陣獲得正解的先驗(yàn)估計(jì)，推廣了文獻(xiàn)[15]的結(jié)果.
　　 在第三章中，研究下列非線性四階微分方程邊值問題正解的存在性
　　 {u(4)=f（t，u，u'，-u"，u(")），{u(0)=u'(1)=0，u"(1)=u(")(0)=0.
　　 其中f∈

6、C（[0，1]×(IR)4+，(IR)+）.我們?cè)诒菊轮惺褂媒惦A法，將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)二階積分微分方程.由于包含不同邊值條件，我們必須建立非負(fù)凹函數(shù)v的范數(shù)與積分
　　 ∫01v(t)(1-t)e1-tdt,∫01((B1v)(t)+2(B1v)'（t)）(1-t)e1-tdt.的關(guān)系.通過引入某些積分恒等式和積分不等式，得到正解的先驗(yàn)估計(jì)，在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用錐上不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論建立本章的主要結(jié)果.
　　 在第四章中，研究下列

7、具有不同邊值條件的二階非線性常微分方程組正解和多重正解的存在性
　　 {-u"=f(t，u，u'，v，-v')，-v"=g（t，u，u'，v，-v'），{u(0)=u'(1)=0，v'(0)=v(1)=0，
　　 其中f，g∈C（[0.1]×(IR)4+，(IR)+）.為了克服不同邊值條件和含一階導(dǎo)數(shù)的非線性項(xiàng)帶來的困難，我們引入兩個(gè)與某些超越方程有關(guān)的積分恒等式，借助這些積分恒等式得到正解的先驗(yàn)估計(jì).由于使用非負(fù)矩陣刻

8、劃非線性項(xiàng)的增長，因此矩陣?yán)碚撛诒菊伦C明中起著重要作用.
　　 在第五章中，研究下列非線性p-Laplace方程組邊值問題的正解和多重正解的存在性
　　 {-((u')p-1）'=f(t，u，v).-（（-v'）q-1）'=g(t，u，v)，{u(0)=u'(1)=0.v'(0)=v(1)=0,
　　 其中p，q＞1，f∈C（[0，1]×(IR)2+，(IR)+），g∈C（[0.1]×(IR)2+,(IR)+）.