Landau-Lifshitz方程的反散射方法.pdf

1、本論文研究可積Landau-Lifshitz方程的反散射方法.經(jīng)典可積情形下的Landau-Lifshitz方程早在上個世紀(jì)70年代末就已有大量的研究工作.國內(nèi)的很多學(xué)者，在80年代，90年代初期亦研究過此經(jīng)典模型的相關(guān)問題.經(jīng)典可積的模型，雖然有其理想的地方，但是它為與之相關(guān)非可積模型研究提供一些思路.從中發(fā)現(xiàn)一些新現(xiàn)象和新問題亦為非可積的方程的研究指明方向.本文的主要工作是運(yùn)用發(fā)展的反散射方法—Riemann-Hilbert方法研究

2、此經(jīng)典模型.由于近年來反散射方法的發(fā)展，利用此方法研究此經(jīng)典模型，仍然可以得到一些新的結(jié)果.首先，我們可以得到在反散射框架下的解的存在唯一性.其次對于離散散射數(shù)據(jù)利精確解的求解，我們利用的主要工具是推廣的Darboux變換.首次將推廣的Darboux變換結(jié)合反散射方法巧妙地處理反散射方法中多重極點(diǎn)的散射數(shù)據(jù)的求解問題.據(jù)此，我們可以給出一般的孤立子求解公式,進(jìn)而給孤立子解以完全的分類.除此之外，我們可以運(yùn)用Deiff-Zhou方法分析解

3、的長時問漸近行為.反散射方法作為求解可積偏微分方程柯西問題的重要方法，亦提供了研究微分方程的重要手段.近年來，非線性科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)出現(xiàn)了新的研究對象—怪波.它的產(chǎn)生機(jī)制為調(diào)制不穩(wěn)定性.此時，由于涉及到微分方程的不適定性，微分方程的一些理論已經(jīng)無法分析.反散射方法為這些新現(xiàn)象的研究亦提供了重要手段.
　　第一章為背景介紹.首先介紹方程的背景知識，研究進(jìn)展.其次介紹反散射方法的歷史背景，重要進(jìn)展和技巧，以及一些最新結(jié)果.最后給出了本文的創(chuàng)

4、新點(diǎn)和主要結(jié)果.
　　第二章研究經(jīng)典Landau-Lifshitz方程的反散射方法.首先運(yùn)用規(guī)范變換和反散射方法適定性理論的新結(jié)果，得到Landau-Lifshitz方程在一個帶權(quán)的Soblev空間的適定性.其次，運(yùn)用推廣的Darboux變換方法將孤立子解給予完全的分類.最后利用Deift-Zhou方法分析一般孤立子解的長時問漸近行為.
　　第三章研究球?qū)ΨQ情形可積的Landau-Lifshitz方程，此模型的可積性研究早在

5、1994年由Lakshamnan等人提出.關(guān)于此模型精確解的研究已有些結(jié)果，但是利用反散射方法研究該問題尚屬首次.主要因?yàn)槠湎鄳?yīng)的譜問題為非等譜的半線問題.我們需要對譜問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)难油?這里對于奇數(shù)維和偶數(shù)維系統(tǒng)運(yùn)用不同的延拓方式.除此之外，我們還對方程解的動力學(xué)行為進(jìn)行分析.同時我們順便給出了推廣的NLS方程的孤子解的動力學(xué)行為研究.
　　第四章研究經(jīng)典可積Landau-Lifshitz方程在自旋波背景下的反散射問題.運(yùn)用的主