一類(lèi)變系數(shù)亥姆霍茲算子的特征模計(jì)算及應(yīng)用研究.pdf

1、以物理中的光波導(dǎo)為背景，數(shù)學(xué)上，本文分別對(duì)無(wú)界變系數(shù)亥姆霍茲方程的模式求解問(wèn)題及反散射問(wèn)題的數(shù)值算法兩類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行了研究。第一類(lèi)問(wèn)題，對(duì)于緩變光波導(dǎo)，本文推導(dǎo)得到了使用完美匹配層(perfectly matched layer，簡(jiǎn)稱(chēng)PML)邊界的TM模式下傳播常數(shù)滿(mǎn)足的三角矩陣近似的色散方程;進(jìn)一步地，對(duì)一般的光波導(dǎo)，本文得到了使用PML邊界的TE和TM模式下全矩陣近似的高精度的色散方程。另外，本文給出了泄漏模和Berenger模的解析的

2、漸近解公式，當(dāng)求解這兩種模在大模（|β|較大）時(shí)的高精度解時(shí)，它們可以作為使用牛頓迭代法高精度求解色散方程時(shí)的初始值。對(duì)于另一類(lèi)問(wèn)題，反介質(zhì)的重建問(wèn)題，本文給出了較好的數(shù)值反演算法。
　　具體地說(shuō)，對(duì)于無(wú)界的光波導(dǎo)，本文使用PML邊界條件將無(wú)界問(wèn)題有界化。由于討論的是波導(dǎo)非均勻的情況，所以使用了微分轉(zhuǎn)移矩陣來(lái)推導(dǎo)芯層的轉(zhuǎn)移矩陣。本文首先推導(dǎo)了TM模式的微分轉(zhuǎn)移矩陣，并對(duì)該微分轉(zhuǎn)移矩陣進(jìn)行積分，對(duì)積分后的形式進(jìn)行矩陣指數(shù)運(yùn)算。但是因

3、為指數(shù)運(yùn)算難以給出簡(jiǎn)單明確的表達(dá)式，所以對(duì)波導(dǎo)緩變的情況，本文使用上、下三角矩陣近似微分轉(zhuǎn)移矩陣，最終推導(dǎo)得到了PML邊界下TM模式的兩個(gè)三角矩陣近似的色散關(guān)系，并對(duì)波導(dǎo)的大模情況，本文給出了泄漏模和Berenger模的解析的漸近解公式。因?yàn)樵诓▽?dǎo)模式的分析中，相對(duì)于小模，高精度求解大模要困難得多，所以使用牛頓法求解泄漏模和Berenger模的高精度解時(shí)，它們的漸近解可以作為迭代初始值。在另一個(gè)研究工作中，為了進(jìn)一步提高特征值的精度，本

4、文不對(duì)微分轉(zhuǎn)移矩陣進(jìn)行任何近似，直接對(duì)其積分，并對(duì)積分后的形式進(jìn)行矩陣變換，然后近似地進(jìn)行矩陣指數(shù)的計(jì)算，最終結(jié)合PML邊界條件，推導(dǎo)得到了特征模式（傳播模、泄漏模、Berenger模）滿(mǎn)足的全矩陣近似的高精度的解析的色散關(guān)系。這個(gè)色散關(guān)系對(duì)一般折射率連續(xù)變化且可導(dǎo)的波導(dǎo)都適用，不在局限于緩變波導(dǎo)的情況。而且，在一定的條件下，可以精確地計(jì)算矩陣指數(shù)，此時(shí)上面得到的高精度的色散關(guān)系變?yōu)榫_的色散關(guān)系。
　　對(duì)于波導(dǎo)中的反介質(zhì)重建問(wèn)題