局部化-局部源的相互作用與奇性解的漸近行為.pdf

1、本文研究幾類具有局部與局部化源的非線性拋物方程(組)奇性解的漸近行為，具體涉及五個(gè)同時(shí)具有局部源和局部化源的模型.我們的興趣在于這兩類源相互作用對(duì)解的奇性的產(chǎn)生與傳播的影響，重點(diǎn)討論blow-up集，首先考慮兩類分別由局部化源和局部源耦合的熱方程組解的全局與單點(diǎn)blow-up問(wèn)題，通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)這兩類耦合源對(duì)解的blow-up集等性質(zhì)的影響有本質(zhì)性區(qū)別；接著我們討論局部化源與局部源相互作用對(duì)非線性擴(kuò)散問(wèn)題解的blow-up速率，blow-

2、upprofile，blow-up集的影響；最后，我們通過(guò)研究局部化源項(xiàng)對(duì)拋物型方程(組)解Fujita指標(biāo)的影響發(fā)現(xiàn)：與通常的局部源情形不同，局部化源的存在可以使相關(guān)模型具有無(wú)限Fujita指標(biāo)(亦即，排除解對(duì)大初值blow-up、小初值整體存在的指標(biāo)情形)。 本文的主要結(jié)果概述如下： (I)關(guān)于全局與單點(diǎn)blow-up第二章考慮具有局部源和耦合局部化源的熱方程組ut=△u+um＋vp(O，t)，vt=△v+vn十uq

3、(0，t)，(x，t)∈Ω×(0，T)的齊次Dirichlet問(wèn)題.解的性質(zhì)依賴于局部源、耦合局部化源，以及擴(kuò)散和零邊值之間的相互作用.我們得到關(guān)于非整體解全局與單點(diǎn)blow-up的完全的指標(biāo)分類.討論還涉及不同占優(yōu)機(jī)制所導(dǎo)致的解的同時(shí)與非同時(shí)blow-up，以及解的多重blow-up速率.順便指出，此前的已有文獻(xiàn)中未曾發(fā)現(xiàn)有人討論過(guò)方程組情形解的全局與單點(diǎn)blow-up問(wèn)題。 第三章研究具有局部化源和耦合局部源的熱方程組ut=

4、△u+um(0，t)+vp，vt=△v+vn(0，t)+uq，(x，t)∈Ω×(0，T)的齊次Dirichlet問(wèn)題，進(jìn)行了與第二章模型的平行討論，亦即奇性解的全局與單點(diǎn)blow-up，同時(shí)與非同時(shí)blow-up等.特別地，將本章與上一章的結(jié)果進(jìn)行比較，可以看出這兩類不周的耦合關(guān)系所造成的關(guān)于解的奇性產(chǎn)生與傳播的某些本質(zhì)不同.例如，第二章模型指標(biāo)分類中解的一個(gè)分量全局blow-up而另一個(gè)分量單點(diǎn)blow-up的現(xiàn)象對(duì)本章所討論的模型卻

5、沒(méi)有出現(xiàn)。 在第四章，我們研究具有齊次Dirichlet邊界條件的局部非線性擴(kuò)散問(wèn)題ut=△um+λ1up+λ2uq(0，t)，其中p，q≥0，max{p∶g}＞m＞1，且λ1，λ2＞0.我們通過(guò)研究局部化源、局部源、非線性擴(kuò)散以及齊次Dirichlet邊界條件之間的相互作用給出解在不同占優(yōu)機(jī)制下的blow-up速率和一致blow-upprofiles.關(guān)于解的blow-up集，我們發(fā)現(xiàn)非線性擴(kuò)散對(duì)解的全局與單點(diǎn)blow-up無(wú)

6、影響。 (II)關(guān)于Fujita指標(biāo)第五章考慮非線性擴(kuò)散模型ut=△um+λ1up1(x，t)+λ2up2(x*(t)，t)的Cauchy問(wèn)題，其中m≥1，pi，λi≥0(i=1，2)并且x*(t)Holder連續(xù).我們發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)新現(xiàn)象：當(dāng)λ2>0時(shí)該模型的臨界Fujita指標(biāo)pc=+∞.也就是說(shuō)，只要p=max{p1，p2}>1，則解對(duì)非平凡非負(fù)初值必發(fā)生blow-up.我們進(jìn)一步證明，這一結(jié)果對(duì)于其他形式的局部化源情形(哪

7、怕是衰減的)以及具有局部化源的耦合組均成立。 第六章研究具有局部化源與局部源耦合的反應(yīng)擴(kuò)散方程組ut=△u+vp(x*(t)，t)，vt=△v+uq.為了研究局部源與局部化源間的相互作用，我們分別考慮Cauchy問(wèn)題以及具有齊次Dirichlet邊界的初邊值問(wèn)題.對(duì)于初邊值問(wèn)題我們證明了解在整個(gè)區(qū)域內(nèi)處處blow-up，并具有一致的blow-upprofiles.對(duì)于Cauchy問(wèn)題，我們給出一個(gè)有趣的結(jié)論：它所對(duì)應(yīng)的Fujit