幾類(lèi)分?jǐn)?shù)階微分方程奇異邊值問(wèn)題及其應(yīng)用.pdf

1、奇異邊值問(wèn)題產(chǎn)生于二十世紀(jì)二十年代,源于物理學(xué)家為確定原子電動(dòng)勢(shì)而提出的二階奇異常微分方程邊值問(wèn)題的模型,對(duì)于此類(lèi)帶有奇異性的方程的研究方法較為獨(dú)特,漸漸形成獨(dú)立的研究方向.帶有奇異性的微分方程邊值問(wèn)題在自然科學(xué)的眾多領(lǐng)域具有極為廣泛的應(yīng)用背景,例如,電導(dǎo)體模型、電動(dòng)勢(shì)理論、圓形膜理論等。
　　分?jǐn)?shù)階模型相對(duì)于整數(shù)階模型而言自由度更高,即用分?jǐn)?shù)階模型所描述的問(wèn)題更加準(zhǔn)確.從近年研究者在數(shù)學(xué)、物理、控制理論、混沌與湍流、生物與醫(yī)學(xué)等

2、領(lǐng)域里取得的豐碩的研究成果中可以看出,分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題作為一門(mén)嶄新的課題,已然成為國(guó)際上微分方程理論研究的熱點(diǎn)之一。有人稱(chēng)分?jǐn)?shù)階微積分為二十一世紀(jì)的微積分。
　　非線性泛函分析理論是現(xiàn)當(dāng)代研究微分方程邊值問(wèn)題的主要手段和重要依據(jù)。由此理論導(dǎo)出的一系列不動(dòng)點(diǎn)定理,對(duì)于微分方程邊值問(wèn)題解的存在性、多重性、唯一性等的判斷意義重大。
　　方程中非線性項(xiàng)性態(tài)的不同、邊界條件形式上的差異以及研究側(cè)重點(diǎn)的不同等都影響著研究解的相關(guān)屬

3、性時(shí)所采用的方法。對(duì)于帶有奇異性的邊值問(wèn)題而言,除了考慮上述問(wèn)題之外,還要求研究者采取合理的方法取消奇異性,將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,這個(gè)過(guò)程本身就增加了研究奇異性問(wèn)題的理論價(jià)值。因此,加上奇異微分方程邊值問(wèn)題廣泛的實(shí)際應(yīng)用背景,研究分?jǐn)?shù)階奇異微分方程邊值問(wèn)題具有重要理論意義的同時(shí)也具有廣泛的實(shí)用價(jià)值。
　　本文主要研究幾類(lèi)奇異分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題解的存在性、唯一性和多重性,通過(guò)深入研究,在更加一般的條件下獲得了一些有趣的結(jié)果,給出實(shí)際

4、應(yīng)用中分?jǐn)?shù)階微分方程奇異邊值問(wèn)題解的存在性、唯一性及多重性的幾個(gè)充分條件。部分結(jié)果已在《Computers and Mathematics with Applications》、《Boundary Value Problems》等雜志發(fā)表并被SCI收錄。
　　本文共分六章，主要研究了四類(lèi)問(wèn)題。第二章研究了一類(lèi)帶有非線性邊值條件的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題,此類(lèi)問(wèn)題是將常微分方程的研究工作向分?jǐn)?shù)階的推廣,邊值條件更加廣泛,包含了Diri

5、chlet邊值條件、積分邊值條件、多點(diǎn)邊值條件等,通過(guò)錐拉伸壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理得到其正解存在的若干充分條件；第三章在第二章的研究基礎(chǔ)上,在方程中引入奇異性,通過(guò)構(gòu)造逼近序列取消奇異性,利用Gatica-Oliker-Waltman不動(dòng)點(diǎn)定理得到正解存在的充分條件,此類(lèi)方法用于分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題解的存在性的研究并不多見(jiàn)；第四章研究了一類(lèi)實(shí)際應(yīng)用模型,Thomas-Fermi模型,這是一類(lèi)含參數(shù)的奇異邊值問(wèn)題,采用Guo-Krasnosel