Green函數(shù)在帶擴(kuò)散機(jī)制的非線性方程中的應(yīng)用.pdf

1、本文旨在研宄Green函數(shù)方法及其在帶擴(kuò)散機(jī)制的非線性方程中的應(yīng)用.我們主要考慮了兩類帶擴(kuò)散機(jī)制的非線性方程.第一類方程是趨化模型，含有線性擴(kuò)散項(xiàng)和非線性交叉擴(kuò)散項(xiàng).它們之間的競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制是此類方程的特點(diǎn)之一，也是研宄中我們要面對(duì)的主要困難.第二類方程是單個(gè)粘性守恒律方程.該方程在激波解附近的線性化方程除了含有非常系數(shù)項(xiàng)以外，還帶有熱擴(kuò)散機(jī)制.我們將分別考慮這兩類方程的初邊值問(wèn)題和大擾動(dòng)Cauchy問(wèn)題.具體內(nèi)容概括如下：
　　第一章

2、是緒論.這里，我們將著重介紹Green函數(shù)方法、趨化模型和粘性守恒律方程的相關(guān)背景，并給出一些重要的結(jié)果.
　　在第二章，我們將研宄一類吸引-排斥趨化模型Cauchy問(wèn)題解的大時(shí)間行為.本章共分為兩大部分.第一部分中，我們考慮該模型Cauchy問(wèn)題小解的逐點(diǎn)估計(jì).通過(guò)Green函數(shù)的方法，以及對(duì)非局部算子的精細(xì)估計(jì)，我們最終得到了小解的逐點(diǎn)估計(jì)以及衰減估計(jì).結(jié)果表明，解的大時(shí)間行為與經(jīng)典熱方程的相似.接著在第二部分中，我們繼續(xù)考慮

3、了該模型Cauchy問(wèn)題大初值解的衰減估計(jì)和爆破現(xiàn)象.大初值情形與小初值有很大不同，原因在于大初值情況下，非線性項(xiàng)所產(chǎn)生的聚集效應(yīng)有可能壓過(guò)排斥效應(yīng)以及擴(kuò)散效應(yīng)，從而導(dǎo)致爆破的發(fā)生.具體情況要由方程中的參數(shù)之間的關(guān)系決定.最終，我們證明了當(dāng)排斥效應(yīng)壓過(guò)聚集效應(yīng)時(shí)，Cauchy問(wèn)題總是存在一致有界的整體光滑解，并得到了解的衰減估計(jì).這里我們所用方法主要是能量估計(jì)，Moser-Alikakos迭代技巧和基于Green函數(shù)的半階導(dǎo)方法.特別需

4、要指出的是，利用半階導(dǎo)方法，我們可以在初值弱正則的情況下，逐步地提高解的正則性.最后，當(dāng)聚集效應(yīng)占據(jù)主導(dǎo)地位且方程滿足一定條件時(shí)，我們利用動(dòng)量方法得到了大解的爆破結(jié)果.
　　第三章，我們考慮Keller-Sege膜型在半空間xn> It上的初邊值問(wèn)題.我們提出了一個(gè)守恒邊界條件，以保證質(zhì)量仍舊滿足守恒性質(zhì).在此條件下，我們分別研宄了解的全局存在性，正則性和大時(shí)間行為.我們首先應(yīng)用Fourier變換和Laplace變換技巧以及復(fù)分析

5、方法，構(gòu)造了線性初邊值問(wèn)題的Green函數(shù).然后通過(guò)Green函數(shù)的具體估計(jì)和Duhamel齊次化原理，我們證明了當(dāng)初始值充分小時(shí)，該初邊值問(wèn)題總是存在唯一的全局經(jīng)典解.更進(jìn)一步地，我們得到了全局解的衰減估計(jì).我們指出邊界的移動(dòng)方向?qū)獾拇髸r(shí)間行為會(huì)產(chǎn)生重要的影響.具體來(lái)說(shuō)，當(dāng)/<0時(shí)，解的模衰減率為(1+ t)-n/2(n為空間維數(shù))，與熱方程的一致.而當(dāng)/>0時(shí)，卻有不同的結(jié)果.不僅如此，此時(shí)解的漸近行為還與空間維數(shù)n有關(guān). n>2

6、時(shí)，我們證得尤~模衰減率是(1+ t)-(n-1)/2,但是n=1時(shí)，解并不會(huì)趨于零狀態(tài)(只要初始質(zhì)量不為零).相反地，我們證明解會(huì)以指數(shù)級(jí)衰減到唯一一個(gè)守恒穩(wěn)態(tài)解.這是一個(gè)十分有意思的結(jié)果，該結(jié)果從某個(gè)層面上說(shuō)明了邊界會(huì)對(duì)解的大時(shí)間行為產(chǎn)生本質(zhì)性的影響.
　　第四章，我們考慮兩維的單個(gè)粘性守恒律方程激波附近大擾動(dòng)解的穩(wěn)定性問(wèn)題.由于方程特殊的結(jié)構(gòu)，以及小性假設(shè)的缺失，使得我們無(wú)法單純依靠Green函數(shù)方法或者L2能量估計(jì)得到解的