幾類微分系統(tǒng)的定性理論及其應(yīng)用.pdf

1、1881-1886年，法國數(shù)學(xué)家J.H.Poincare(1854-1912),發(fā)表了四篇關(guān)于微分方程所確定的積分曲線的論文，首次在微分方程求解過程中引入定性思想，為微分方程解的性質(zhì)的討論和應(yīng)用開辟了新的天地。同時期，俄國數(shù)學(xué)家A.M.Liapunov(1857-1918)提出了常微分方程穩(wěn)定性理論亦稱運(yùn)動穩(wěn)定性理論，在具體問題的研究中進(jìn)一步完善和發(fā)展了定性理論。隨后二百多年，經(jīng)過各國數(shù)學(xué)家不懈的努力，微分方程定性理論發(fā)展迅速,產(chǎn)生了眾

2、多的學(xué)科分支，研究的方程也從線性發(fā)展到非線性，由低階發(fā)展到高階.這些領(lǐng)域構(gòu)建的微分方程模型能比較精確的描述宏觀和微觀世界，在應(yīng)用領(lǐng)域引起了廣泛的關(guān)注，微分方程的定性理論和應(yīng)用因此成為近年來研究的熱點(diǎn)問題之一。
　　在微分方程定性理論的研究中，微分算子譜理論和分?jǐn)?shù)階微分方程伴隨著分形學(xué)、生物學(xué)、自動控制、物理學(xué)、分?jǐn)?shù)控制系統(tǒng)與分?jǐn)?shù)控制器，流變學(xué)，電分析化學(xué)等學(xué)科的飛速發(fā)展，受到了眾多學(xué)者的關(guān)注，有了突破性的發(fā)展。其中Dira c算子

3、在描述量子力學(xué)中的能量和原子的內(nèi)力問題中是十分重要的，由于力學(xué)系統(tǒng)受到外力的干擾或原子系統(tǒng)受到外電磁場的作用，都可能使得原系統(tǒng)不再連續(xù),造成描述該系統(tǒng)的方程中的特征函數(shù)具有間斷點(diǎn)，這一物理現(xiàn)象抽象為帶有轉(zhuǎn)移條件的Dirac系統(tǒng)。目前，Dirac系統(tǒng)的特征值及其性質(zhì)還少有人研究，文[110]研究了具有轉(zhuǎn)移條件的一個簡單形式(對角型）的D ira c系統(tǒng)的逆譜問題，關(guān)于一般形式的具有轉(zhuǎn)移條件的D ira c系統(tǒng)的譜問題，如相應(yīng)的D ira

4、c算子的自伴性、特征函數(shù)的完備性等，迄今為止尚未發(fā)現(xiàn)有相應(yīng)結(jié)果出現(xiàn)。
　　19世紀(jì)以來，伴隨著廣義算子理論的興起和發(fā)展，分?jǐn)?shù)階微分理論在理論和應(yīng)用上都獲得了突飛猛進(jìn)的發(fā)展，出現(xiàn)了較多的專著和論文集,研究的方向眾多，各個分支都有了一定的發(fā)展，見參考文獻(xiàn)[1]、[25]、[26]、[79]等。但是由于分?jǐn)?shù)階微積分算子具有非局部性，作為積分算子的核又是奇異的，利用整數(shù)階微分方程的理論和方法來研究分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)非常困難，因而有必要建立分?jǐn)?shù)

5、階微積分的獨(dú)立的理論。由于其計算的復(fù)雜性，對它們某些物理意義的闡述還未得到普遍認(rèn)可，所以總的來說相對于整數(shù)階微分方程理論，分?jǐn)?shù)階微分方程理論的研究目前仍處于起步階段。分?jǐn)?shù)階微分方程的定性理論和應(yīng)用也是近年來研究的熱點(diǎn)之一，是分?jǐn)?shù)階微積分最直接的應(yīng)用之一,在眾多自然學(xué)科領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。分?jǐn)?shù)階微分方程的研究內(nèi)容比較豐富，但是分?jǐn)?shù)階微分、積分方程的理論研究還不太完善，定性理論的研究成果相對較少，許多理論正處于期待研究的狀態(tài)。
　　本

6、文共分為六章，主要研究轉(zhuǎn)移性條件下的D ira c系統(tǒng)的基本解和特征值的性質(zhì),幾類含有弱奇異核的積分不等式及其在分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)中的應(yīng)用，矩陣哈密頓系統(tǒng)解的振動性質(zhì)，非線性分?jǐn)?shù)階微分方程的振動性準(zhǔn)則和含混合非線性項的二階微分方程的廣義變分振動性準(zhǔn)則.這些研究結(jié)果大都已經(jīng)發(fā)表在國外重要的學(xué)術(shù)期刊上，如《Appl.Math.Comput.》(SCI)、《Abstr.Appl.Anal.》(SCI)、《Discrete Dyn. Na

7、t.Soc.》(SCI)、《Adv.Difference Equ.》（SCI)、《J.Appl.Math.》（SCI)等。
　　第一章簡要介紹了微分方程定性理論的歷史背景，著重講述了微分算子譜理論和分?jǐn)?shù)階微分方程定性理論的發(fā)展史，并分成五小節(jié)分別介紹了每章研究的問題、方法和結(jié)論。
　　第二章主要研究帶有一個內(nèi)部奇異點(diǎn)的D ira c算子的譜問題,在該奇異點(diǎn)處,我們加上了轉(zhuǎn)移性條件,然后考慮帶轉(zhuǎn)移條件的Dirac系統(tǒng)的譜問題.

8、其中§2.2給出Dirac系統(tǒng)的變換形式，§2.3給出了要研究的譜問題，§2.4研究了由邊界條件和轉(zhuǎn)移性條件在合適的Hilbert空間中所定義的算子，并討論了算子的特征值；§2.5討論了Dirac系統(tǒng)的基本解及其性質(zhì)，討論了Wronski行列式的零點(diǎn)與所討論的Dirac問題的特征值的對應(yīng)關(guān)系以及特征值的重數(shù)，最后§2.6,給出了豫解算子以及G reen函數(shù)。
　　第三章主要討論了幾類含有弱奇異核的積分不等式及其在分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)中的

9、應(yīng)用。其中§3.2建立了一類含有弱奇異核的不連續(xù)函數(shù)的積分不等式及其在脈沖分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)中的應(yīng)用，由于弱奇異核的存在，含有不連續(xù)函數(shù)的不等式的研究方法與經(jīng)典的Gronwall-Bellman-Bihari型不等式的研究方法相當(dāng)不同，主要利用Mittag-Leffler函數(shù)Ep(?)來進(jìn)行研究,并利用逐次迭代法來建立新型的不連續(xù)函數(shù)積分不等式。§3.4得到了兩類含弱奇異核的Gronwall-Bellman型不等式，其中第二類含有時滯項，并

10、將它們用在分?jǐn)?shù)階微分方程解的有界性等性質(zhì)的研究上。
　　第四章研究向量形式的哈密頓系統(tǒng)的振動性，首先在§4.2中，我們利用矩陣空間上的單調(diào)泛函以及負(fù)保持泛函，結(jié)合利用Riccati變換和積分均值方法，給出哈密頓系統(tǒng)（4.1)的振動性的區(qū)間準(zhǔn)則，這些準(zhǔn)則只依賴于系數(shù)矩陣在一個子區(qū)間列上的性質(zhì),從而推廣改進(jìn)了許多現(xiàn)有的結(jié)果；其次在§4.3中利用一個保振動性的線性變換，以及推廣的Riccati變換和積分均值方法，我們建立了哈密頓系統(tǒng)（4

11、.1)的振動性準(zhǔn)則，推廣改進(jìn)了現(xiàn)有的許多結(jié)果，并簡化了已知定理的證明；最后，給出幾個例子，說明我們結(jié)果的準(zhǔn)確性。
　　第五章研究了兩類非線性分?jǐn)?shù)階微分方程的振動性準(zhǔn)則?！?.2我們討論了一類新的分?jǐn)?shù)階微分方程的振動性判據(jù)，對于非線性項f(u)進(jìn)行了不同的假設(shè)，推出來不同的區(qū)間型振動性判據(jù)，與以往研究的結(jié)論不同.不同點(diǎn)主要在于這些結(jié)論依賴的條件是半直線的一列區(qū)間，而不是整條半直線.§5.3從 Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)