幾類Filippov系統(tǒng)與光滑微分系統(tǒng)的定性理論及應(yīng)用研究.pdf

1、由于數(shù)學(xué)分析工具的缺乏，右端不連續(xù)微分方程理論的發(fā)展相當(dāng)緩慢.至今，右端不連續(xù)微分方程理論的發(fā)展仍處于初級階段，很多理論都沒有得到完善.為此，本學(xué)位論文首先發(fā)展了有關(guān)右端不連續(xù)非自治廣義齊次微分方程的穩(wěn)定性理論，主要討論了右端不連續(xù)非自治廣義齊次微分方程以及一類具有不連續(xù)擾動項的齊次系統(tǒng)解的收斂方式.然后，我們根據(jù)現(xiàn)實生活中一些食餌和捕食者之間的接觸特征，建立了一個具有不連續(xù)功能反應(yīng)函數(shù)的食餌捕食模型，并應(yīng)用右端不連續(xù)微分方程定性理論對

2、該模型進(jìn)行了深入的研究.在本學(xué)位論文的最后兩部分，我們通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的方法分別討論了一類光滑的HIV雙倉室模型和一類具有不連續(xù)激勵函數(shù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型平衡態(tài)的穩(wěn)定性.值得一提的是，在研究具有不連續(xù)激勵函數(shù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型平衡態(tài)的穩(wěn)定性時，我們獲得了在一定的條件下，平衡態(tài)是有限時間收斂的.該收斂方式在光滑的HIV倉室模型中是不可能具有的.具體地說，本學(xué)位論文主要分為六章.
　　在第一章中，我們首先回顧了右端不連續(xù)微分方程和

3、穩(wěn)定性理論的研究歷史和發(fā)展概況.隨后，我們逐一地介紹了不連續(xù)生物動力學(xué)、HIV動力學(xué)和不連續(xù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)的研究歷史和發(fā)展現(xiàn)狀.
　　在第二章中，我們簡要地介紹了本學(xué)位論文所需的一些數(shù)學(xué)理論知識，主要包括Filippov系統(tǒng)的定性理論，如解的存在唯一性、解對初值和右端函數(shù)的依賴性、平面Filippov系統(tǒng)中不連續(xù)曲面上解的特性、∑-奇異點附近解的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).同時，一些有關(guān)光滑動力系統(tǒng)和Filippov系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論也在此處被列出.

4、
　　在第三章中，我們完善了右端不連續(xù)非自治廣義齊次微分方程的穩(wěn)定性理論.利用齊次微分方程的特性（收縮解仍是原方程的解）和一些運算上的處理技巧，得到了右端不連續(xù)非自治廣義齊次微分方程解的收斂特征:齊次度為零和正的非自治廣義齊次系統(tǒng)，全局漸近穩(wěn)定的平衡點分別是指數(shù)穩(wěn)定和；型穩(wěn)定的.同時，我們分析了一類具有內(nèi)外擾動項的擾動系統(tǒng)的動力學(xué)行為，并將其與原系統(tǒng)進(jìn)行了對比研究.結(jié)果顯示該擾動系統(tǒng)與原系統(tǒng)具有類似的動力學(xué)行為，當(dāng)擾動充分小時，解

5、的收斂方式在該擾動下是穩(wěn)定的.
　　在第四章中，我們根據(jù)在現(xiàn)實生活中一些具有比率依賴的食餌與捕食者之間的接觸特性，建立了一個比率依賴的Filippov食餌捕食模型.主要運用右端不連續(xù)微分方程定性理論中有關(guān)∑-奇異點拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的相關(guān)知識，對該模型所有∑-奇異點的局部結(jié)構(gòu)進(jìn)行了詳細(xì)的分析.此外，對于不同的參數(shù)，我們得到了該模型具有14種不同的全局動力學(xué)行為.特別地，對于一定范圍內(nèi)的參數(shù)，全局穩(wěn)定的偽平衡點和全局有限時間穩(wěn)定的周期解是存在

6、的，并且所得的部分動力學(xué)行為能合理地解釋部分實驗和現(xiàn)實中的現(xiàn)象.
　　在第五章中，我們將構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的方法與LaSalle不變原理相結(jié)合，分別討論了一類光滑的七維和八維HIV倉室模型平衡態(tài)的漸近穩(wěn)定性.通過對這兩個模型的分析，我們得到了:當(dāng)基本再生數(shù)小于等于1時（即感染平衡點不存在），無病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的;當(dāng)基本再生數(shù)大于1時（即感染平衡點存在），感染平衡點是全局漸近穩(wěn)定的.
　　在第六章中，根據(jù)周期解是否