幾類微分系統(tǒng)的奇點(diǎn)與極限環(huán)的研究.pdf

1、對(duì)于微分系統(tǒng)而言，它是人類解決某些實(shí)際問題的重要手段.在日常生活中，許許多多的問題經(jīng)過研究和分析可以轉(zhuǎn)化為微分系統(tǒng)問題，如，生態(tài)系統(tǒng)、控制論、電子裝置設(shè)計(jì)、彈道與飛機(jī)軌跡的定性分析、化學(xué)反應(yīng)分析、人口模型等，與天文、物理、航天等科學(xué)領(lǐng)域關(guān)聯(lián)度很高.伴隨著數(shù)百年的發(fā)展，經(jīng)過龐加萊、李亞普洛夫等全世界許多著名數(shù)學(xué)家的探索和研究，微分系統(tǒng)理論不斷得到發(fā)展和完善.其中，微分系統(tǒng)環(huán)域理論是最實(shí)用的理論之一，對(duì)平面自治系統(tǒng)的奇點(diǎn)和極限環(huán)的研究有著重

2、要作用.
　　自Hilbert在國(guó)際報(bào)告上提出的第16個(gè)半的問題，平面自治系統(tǒng)的極限環(huán)的個(gè)數(shù)和位置問題得到廣泛的關(guān)注.隨著對(duì)Lie'nard系統(tǒng)進(jìn)行大量研究，許多研究者采用微分系統(tǒng)環(huán)域理論，在不同的條件限制下，得到了一極限環(huán)的充分性定理，而且這些定理在平面自治系統(tǒng)研究過程中的起著一定的作用.很多復(fù)雜的微分系統(tǒng)可以經(jīng)過一系列的拓?fù)渥儞Q轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)ie'nard系統(tǒng)，再根據(jù)相關(guān)的充分性定理進(jìn)行分析研究.例如，平面二次系統(tǒng)、三次系統(tǒng)的極限環(huán)

3、就得到了較為詳細(xì)的分析，針對(duì)不同的參數(shù)，許多文獻(xiàn)[1，3-7]得到了一些非常好的結(jié)論;文獻(xiàn)[8-16]通過對(duì)特殊的Hamilton擾動(dòng)系統(tǒng)得到的高階系統(tǒng)，計(jì)算得到了極限環(huán)個(gè)數(shù)存在的最大上界.相對(duì)而言，平面系統(tǒng)次數(shù)越高，未知參數(shù)越多，一般n次系統(tǒng)極限環(huán)的個(gè)數(shù)上界至今還沒有確定.
　　眾所周知，奇點(diǎn)和極限環(huán)關(guān)聯(lián)度很高，極限環(huán)的內(nèi)部必包含奇點(diǎn)，且奇點(diǎn)的指數(shù)之和必為1，若要研究極限環(huán)的相對(duì)位置，必先研究奇點(diǎn)的性質(zhì).根據(jù)奇點(diǎn)指數(shù)之和判斷極限

4、環(huán)存在的相對(duì)區(qū)域，這樣就可以避開許多不必要的假設(shè).本文首先介紹了微分系統(tǒng)的歷史研究背景及相關(guān)的研究工作;其次，針對(duì)于一般的光滑平面自治系統(tǒng)，采用一種技巧計(jì)算二維系統(tǒng)的高階奇點(diǎn)指數(shù)，將求奇點(diǎn)指數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為求方程零解的問題，得到一些新的結(jié)論;然后，研究了一類具有三個(gè)奇點(diǎn)情形的E13系統(tǒng)，利用奇點(diǎn)的穩(wěn)定性與僅包含此點(diǎn)的極限環(huán)的穩(wěn)定性不能相同的結(jié)論、Hopf分支及Lie'nard系統(tǒng)的一些相關(guān)定理，給出極限環(huán)存在與唯一的幾個(gè)條件.最后討研究一