具有時滯的捕食-食餌模型的穩(wěn)定性和分支問題研究.pdf

1、捕食-食餌模型是種群動力學(xué)模型中一類非常重要的模型，一直以來受到生態(tài)學(xué)界和生物數(shù)學(xué)界的共同關(guān)注，尤其是近年來考慮到時滯因素的影響，對模型解的穩(wěn)定性、漸近性和周期性以及各種分支現(xiàn)象的研究日益成為具有重要意義的研究課題之一。一般來說，時滯對微分方程解的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)會產(chǎn)生較大的影響，它可以改變平衡點的穩(wěn)定性并導(dǎo)致分支及混沌現(xiàn)象的產(chǎn)生。因此，研究時滯對于捕食-食餌模型動力學(xué)性質(zhì)的影響具有重要的現(xiàn)實意義。
　　本文綜合運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性

2、理論、中心流形理論和規(guī)范型理論以及數(shù)值模擬的方法，對具有時滯的捕食-食餌模型的穩(wěn)定性和分支現(xiàn)象進(jìn)行了詳細(xì)的研究，主要工作如下：
　　首先，研究了具有食餌依賴功能反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌模型的動力學(xué)性質(zhì)。通過構(gòu)造全局Lyapunov函數(shù)并結(jié)合LaSalle’s不變性原理，證明了該模型在不含時滯項時頂層滅絕平衡點是全局漸近穩(wěn)定的；對含時滯項的模型，給出了共存平衡點穩(wěn)定和Hopf分支存在的條件，利用中心流形理論和規(guī)范型理論分析了Hopf分支

3、的性質(zhì)，包括分支周期解的方向、穩(wěn)定性及周期等問題；利用數(shù)值模擬得到分支周期解是全局存在的結(jié)論。
　　然后，分析了具有比率依賴功能反應(yīng)函數(shù)的時滯捕食-食餌模型的Hopf分支現(xiàn)象。由于食餌依賴功能反應(yīng)函數(shù)的表達(dá)形式只與食餌有關(guān)，模型的某些動力學(xué)現(xiàn)象與野外觀察和實驗數(shù)據(jù)不符，因此更加合適的功能反應(yīng)函數(shù)應(yīng)該是既和食餌有關(guān)，也和捕食者有關(guān)，這就是所謂的比率依賴型功能反應(yīng)函數(shù)。以具有比率依賴功能反應(yīng)函數(shù)的時滯三種群Gause型捕食-食餌模型為

4、研究對象，分析該模型Hopf分支的存在性，結(jié)果表明當(dāng)時滯穿過某些臨界值時，會出現(xiàn)由Hopf分支產(chǎn)生的周期現(xiàn)象。然而隨著時滯的增加，與前一個模型的分支周期解是全局存在的結(jié)論不同的是該模型的周期解會消失。
　　再次，討論了具有比率依賴功能反應(yīng)函數(shù)的時滯Gause型捕食-食餌模型的Hopf-Fold分支現(xiàn)象。從種群能否共存的角度找到產(chǎn)生Hopf-Fold分支的臨界點，利用中心流形理論計算出該模型的規(guī)范型，給出了Hopf-Fold分支臨界

5、值附近的完整分支集、臨界值鄰域內(nèi)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的詳細(xì)分類和相應(yīng)的相圖分析。數(shù)值模擬出周期解、擬周期解和種群的爆發(fā)行為，與理論分析的結(jié)果相一致。
　　最后，證明了具有比率依賴功能反應(yīng)函數(shù)的時滯捕食-食餌模型的全局穩(wěn)定性。利用比較定理分析了邊界解的性質(zhì)，給出系統(tǒng)是持久的參數(shù)值，得出如果中間捕食者在有著一個較低的消耗能力而引起其滅絕，那么食餌物種將會持久生存，同時頂層捕食者將會滅絕的結(jié)論；通過變量代換的方法，得到了一個等價系統(tǒng)，構(gòu)造全局Lya