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文檔簡介
1、本文主要討論雙曲型方程的精確可控性問題,全文分為三章.
在第一章中,我們利用逐片乘子法研究了第二類Petrovsky板方程{u"+△2u+u=xG(x)h(x,t),(x,t)∈Ω×(0,T),u=△u=0,(x,t)∈?!?0,T),(1.1.1)u(0)=u0,u'(0)=u1, x∈Ω的精確內(nèi)部能控性問題,其中Ω是Rn中帶有邊界Γ的有界區(qū)域,G是Ω的一個子區(qū)域,T是一常數(shù),xG(x)是G的特征函數(shù),xG(x)h(x,t)
2、是局部分布控制,這類問題已在文獻[2,3,8,11]中被研究過.本文在和文[14]中類似的關(guān)于Ω和G的幾何條件下,證明系統(tǒng)(1.1.1)是精確內(nèi)部能控的.需要指出的是,關(guān)于第一類Petrovsky板方程的精確內(nèi)部能控性問題已在文獻[1]中被討論過.
在第二章中,我們利用HUM方法研究了一類變系數(shù)波動方程{y"-a(t)△y+qy=0,在Q內(nèi),y(x,t)=v,在∑上,(2.1.1)y(0)=y0,y'(0)=y1,在Ω內(nèi)的精確
3、能控性,其中Ω是具有C2邊界的有界開集,Q=Ω×(0,T),∑=Γ×(0,T),q:Ω→R是C1類的非負函數(shù), a是一個函數(shù),滿足a,a'∈L∞(R+),a(t)≥ a0>0.(2.1.2)我們想要找一個L2(∑)類的控制函數(shù)v,使(2.1.1)的解y=y(x, t)滿足y(x,T)=y'(x,T)=0,(V)T>0.(2.1.3)在這種情況下,我們就說這個系統(tǒng)是精確可控的.在[17]中已經(jīng)證明了,對任意t≥0,當a'(t)≥0時,(2
4、.1.3)式成立.本章的主要結(jié)果是,證明當a(.)在[T0,T1]上單調(diào),且使得T1-T0>R√‖a‖∞/a0+ sR時,系統(tǒng)(2.1.1)是精確可控的,其中R=sup{‖x-x0‖;x∈Ω},‖ a‖∞=sup{|a(t)|;t∈R},s是正常數(shù), x0是Rn中的定點.本章在增加了一般項qy的基礎(chǔ)上,改進了文[20]中的條件,獲得了新的結(jié)果,使其更具一般化.
在第三章中,我們運用黎曼流形知識和希爾伯特唯一性方法,在將文[26
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