環(huán)的凝聚性和模的某些包絡(luò)與覆蓋.pdf

1、相對(duì)同調(diào)代數(shù)是同調(diào)代數(shù)中的一個(gè)新興的研究領(lǐng)域。(預(yù))包絡(luò)與(預(yù))覆蓋是相對(duì)同調(diào)理論的基石，在代數(shù)表示論中也有重要的應(yīng)用。就其與環(huán)論的關(guān)系而言，至少可以分為兩個(gè)方面。一方面，可以用某些(預(yù))包絡(luò)與(預(yù))覆蓋的存在性來(lái)刻畫環(huán)。例如：凝聚環(huán)可以用平坦預(yù)包的存在性來(lái)刻畫。另一方面，在某些特定的環(huán)上研究模的(預(yù))包絡(luò)與(預(yù))覆蓋可以得到更加豐富，更加完美的結(jié)果。例如在Artin環(huán)，Noether環(huán)乃至更廣的凝聚環(huán)上，人們都已經(jīng)建立起日臻完善的相對(duì)

2、同調(diào)理論。 本課題圍繞環(huán)的兩類相對(duì)凝聚性和模的某些(預(yù))包絡(luò)與(預(yù))覆蓋展開研究。 本文先引入(α,β)-凝聚環(huán)的概念，從而將P-凝聚環(huán)，偽凝聚環(huán)，凝聚環(huán)，以及Ⅱ-凝聚環(huán)的概念統(tǒng)一到同一個(gè)框架之下。給出了左(α,β)-凝聚環(huán)的若干等價(jià)刻畫，包括內(nèi)部刻畫和外部刻畫，推廣了有關(guān)凝聚環(huán)和Ⅱ-凝聚環(huán)的結(jié)論。例如，本文證明了環(huán)R是左(α,β)-凝聚的當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)右R-模都有(α,β)-平坦預(yù)包。這里所引入的(α,β)-平坦模的概念

3、將無(wú)撓模，擬無(wú)撓模，n-平坦模，平坦模，n-投射模，以及有限投射模等概念統(tǒng)一到同一個(gè)框架之下。 在環(huán)的M-凝聚性方面，本文利用一個(gè)反例說(shuō)明即使每個(gè)左R-模都是M-平坦的，R也未必是M-凝聚的，從而解決Dauns J的—個(gè)問題。這個(gè)例子同時(shí)表明M-凝聚性與(α,β)-凝聚性之間存在顯著的差異，關(guān)于凝聚環(huán)和Ⅱ-凝聚環(huán)的一些等價(jià)條件“翻譯”到M-凝聚環(huán)的情形所得到的條件未必還是等價(jià)的。鑒于這個(gè)原因，本文把這些條件進(jìn)行分組，并證明每一組

4、內(nèi)的那幾個(gè)條件是等價(jià)的。例如，對(duì)于固定的右R-模M，本文證明了：(1)每個(gè)左R-模都有M-平坦預(yù)包的充分必要條件是M-平坦模的直積還是M-平坦的。(2)<,R>R的任意直積是M-平坦的充分必要條件是每個(gè)投射右R-模的對(duì)偶都是M-平坦的。 注意到同調(diào)代數(shù)中的三大模類：投射模、內(nèi)射模和平坦模分別對(duì)應(yīng)著Morita理論中的投射生成子、內(nèi)射余生成子和完全忠實(shí)平坦模。而代數(shù)表示論中的傾斜模和余傾斜?？梢苑謩e看成投射生成子和內(nèi)射余生成子的推

5、廣。本文自然地引入了Tot-傾斜模的概念，作為完全忠實(shí)平坦模的推廣，并證明了：(1)傾斜模都是Tor-傾斜的。(2)U<,R>是Tot-傾斜的當(dāng)且僅當(dāng)其示性模U<'+>=Hom<,z>(U,Q/Z)是余傾斜的。(3)每一個(gè)Tor-傾斜的U<,R>都確定了左R-模范疇中的一個(gè)撓理論(Ker(U <,R>，-)，KerTor<'R><,1>(U,-))。從而每個(gè)左R-模都有一個(gè)單的Ker(U R，-)-覆蓋和—個(gè)滿的KerTor<'R><,