關(guān)于整數(shù)冪模q剩余之差的高次均值問題.pdf

1、整數(shù)及其逆的分布問題一直受到眾多數(shù)論學(xué)者的廣泛關(guān)注，人們對此進(jìn)行了深入研究，得到了豐富的成果.本文引入了不同整數(shù)冪模q剩余之差的分布問題，這是對整數(shù)及其逆的分布問題的一種推廣.文章主要利用初等數(shù)論、解析數(shù)論中的一些經(jīng)典的方法，并結(jié)合三角和的性質(zhì)及兩項指數(shù)和的估計，研究了整數(shù)冪模q剩余之差的高次均值問題，得到了好的漸近公式.具體研究結(jié)果如下:
　　令p為奇素數(shù)，α為正整數(shù)，q=pα，m1，m2為不相等的正整數(shù)常數(shù)，0＜δ，λ1，λ2

2、≤1為實數(shù)，k為非負(fù)的任意整數(shù).
　　1.令a為滿足1≤a≤q，(a，q)=1的整數(shù)，則存在唯一的整數(shù)b滿足1≤b≤q及其b≡am1(mod q)，記為(am1)q，即整數(shù)am1模q的最小正剩余.當(dāng)q＞[1/δ]時，研究了整數(shù)冪模q剩余之差的高次均值分布，得到了漸近公式q∑'a=1|(am1)q-(am2)q|≤δq|(am1)q-(am2)q|k=2(1/k+1-δ/k+2)δk+1φ(q)qk+O(qk+1/2+ε)，其中∑'

3、表示與q互素的整數(shù)之和，ε＞0為任意實數(shù)，O所包含的常數(shù)與δ，m1，m2，k有關(guān);
　　2.當(dāng)q＞max{[1/λ1]，[1/λ2]}時，研究了在不完整區(qū)間上Lehmer問題的推廣，漸近公式如下q∑'a=1[λ1q]∑'b=1[λ2q]∑'c=1|b-c|kb≡am1(mod q)c≡am2(mod q)2(|)(b+c)=1/2(k+1)(k+2)(λk+21+λk+22-|λ1-λ2|k+2)φ(q)qk+O(qk+1/2+ε