關(guān)于Thompson問題及有限群的數(shù)量刻畫.pdf

1、1987年J.G.Thompson在給施武杰的一封信中提出了下面的一個(gè)與代數(shù)數(shù)域有關(guān)的問題（見[24]的問題12.37）.特別在Thompson的信中[48]寫到：“我已經(jīng)把關(guān)于同階型的問題告訴了很多數(shù)學(xué)工作者.這個(gè)問題起源于研究代數(shù)數(shù)域，這是我非常感興趣的”. Thompsom問題對(duì)于有限群G和整數(shù)d≥1，設(shè)G（d）={x∈G|xd=1}。定義G和H是同階型的當(dāng)且僅當(dāng)|G（d）|=|H （d）|，d=1，2，….設(shè)G和H是同階

2、型，如果G可解，是否H必然可解？ 記πe（G）表示G的元素階的集合，Te（G）表示G的同階元長(zhǎng)度的集合.容易看出Thompson問題也可以描述為以下的問題： Thompsom問題* 設(shè)G為有限群，令T（G）={（m，Sm）|m∈πe（G）且Sm∈Te（G）），這里Sm表示G中m階元的個(gè)數(shù).設(shè)T（G）=T（H），如果G可解，是否H必然可解？ 本文主要從Thompson問題入手，考慮Thompson問題條件中的集合

3、T（G）中對(duì)象：元素階的集合πe （G）和同階元長(zhǎng)度的集合Te（G）對(duì)有限群的結(jié)構(gòu)的影響. 本文共分四章，主要有以下內(nèi)容： 第一章介紹本文常用的符號(hào)和基本概念，及一些已有的結(jié)果. 第二章討論Thompson問題. 文[53]中給出了有限群G的素圖GK （G）的定義，其頂點(diǎn)集V（GK（G））=π（G）={p|p為|G|的素因子}，邊集合E（GK （G））={p～q|pq∈πe（G），p，q∈V（GK（G））

4、}.本章對(duì)Thompson問題在素圖非連通時(shí)給出了肯定的回答.得到了以下的結(jié)果： 定理A若G，H是有限群使得G和H是同階型且G的素圖非連通，如果G是可解群，則H也可解. 第三章考慮用元素階的集合πe（G）刻畫有限單群，證明了以下定理B：定理B設(shè)G為有限群，p為奇素?cái)?shù)，若πe（G）=πe（Bp（3）），則當(dāng)p>3時(shí)有G（）Bp（3）；當(dāng)p=3，則G（）B3（3）或D4（3）. 在1987年施武杰提出了單群的純數(shù)量刻

5、畫：僅用群的元素階的集合πe（G）和群的階來刻畫有限單群，提出了以下的猜想： 猜想設(shè)G和S是有限群，S為單群，則G（）S當(dāng)且僅當(dāng)|G|=|S|且πe（G）=πe（S）。 上述猜想作為一個(gè)未解決的群論問題已載入[24]的問題12.39.目前已經(jīng)證明了該猜想除了Dn（q）（n是偶數(shù)），Bn（q）和Cn（q）外所有單群都成立.本章繼續(xù)考慮如上的猜想在單群B2m（3）的情形，證明了如下的定理： 定理C有限群G（）B2m（