60p階群的Thompson猜想.pdf

1、設(shè)G是一個(gè)有限群，πe(G)表示群G的元素階的集合；αi(G)=|{g∈G|o(g)=i}|表示G中i階元的個(gè)數(shù)，簡(jiǎn)記為αi；ρ(G)=(α1，………，αk，………，αs)表示G的階型.
　　 考慮群的數(shù)量關(guān)系對(duì)有限群結(jié)構(gòu)的影響是有限群論中一個(gè)重要課題.許多群論工作者在這方面做了大量的工作.如著名的Sylow定理，Lagrange定理，Burnside定理等.1987年施武杰教授提出了單群的純數(shù)量刻畫(huà)：僅用有限群元素階的集合和有

2、限群的階來(lái)刻畫(huà)有限單群.
　　 J.G.Thompson教授在給施武杰教授的一封信中提出了下面一個(gè)猜想：
　　 Thompson猜想：設(shè)G1與G2為同階型的有限群，若G1可解，G2是否可解?
　　 一些群論工作者從群的最高階元的個(gè)數(shù)出發(fā)來(lái)研究有限群，側(cè)面對(duì)Thompson猜想進(jìn)行了研究，得到了一些令人鼓舞的結(jié)果(參見(jiàn)文獻(xiàn)[9]-[19])，但是，至今沒(méi)有人對(duì)J.G.Thompson猜想給出證明，也沒(méi)有舉出反例.可

3、見(jiàn)Thompson問(wèn)題的解決是相當(dāng)困難的.
　　 本文主要討論了階為60p的有限群是否滿(mǎn)足Thompson猜想，從60p階非可解群的結(jié)構(gòu)入手，通過(guò)計(jì)算其階型，得出與60p階非可解群階型相同的有限群必不可解，也即階型與60p階非可解群相同的可解群不存在，從而有階型與60p階可解群相同的有限群必可解.這里p是素?cái)?shù).最后我們還得出了階不大于200的群滿(mǎn)足Thompson猜想的推論.主要結(jié)論如下：
　　 定理3.660p(p為素

4、數(shù))階非可解群G：
　　 (1)當(dāng)p=2時(shí)，必同構(gòu)于SL2(5)，S5或A5×Z2；
　　 (2)當(dāng)p=11時(shí)，必同構(gòu)于L2(11)或A5×Z5；
　　 (3)當(dāng)p≠2，11時(shí)，必同構(gòu)于A5×zp.
　　 定理4.1.1設(shè)|G|=120，則
　　 (1)ρ(G)=ρ(SL2(5))當(dāng)且僅當(dāng)G≌SL2(5)；
　　 (2)ρ(G)=ρ(S5)當(dāng)且僅當(dāng)G≌S5；(3)ρ(G)=ρ(A5×Z2)