階方程，元階型，最高階元的個(gè)數(shù)與有限群.pdf

1、我們知道在有限群中類方程對(duì)群的結(jié)構(gòu)有很大的影響，例如，可由類方程決定階最小的單群A5(見文[l]62頁）.如果把同階的共軛類合在一起就得到了階方程，即按階相等作為等價(jià)關(guān)系劃分群元素得出的方程.顯然階方程是群的一種粗劃分.施武杰教授在文[2]中最早提出階方程的概念.與階方程相關(guān)的是著名的Thompson問題.有限群G1與G2稱為同階型群，若|Mt(G1)|=|Mt(G2)|，t=1，2，3，…，其中：Mt(G)={x∈G：xt=1}.Th

2、ompson問題；設(shè)G1與G2為同階型群，若G1可解，那么G2是否也可解? Thompson問題自1990年由施武杰教授在文[3]中公開后，沒有人給出證明，也沒有人給出反例，可見Thompson問題的解決將是十分困難的. 第二章將根據(jù)階方程來刻畫某些特殊線性群L2(2m)，其中，m=2，3，4，5.本文第一章所用的術(shù)語同[1]，特別地，我們用πe(G)表示群G的元素的階的集合.型相同階方程必相同，因此本文將有利于Thompson

3、問題的解決. 文[4-7]研討了最高階(k階)元素的個(gè)數(shù)|M(G)|對(duì)有限群的影響，證明了當(dāng)|M(G)|=2，2l+1，2p，2p2(p素?cái)?shù))，|M(G)|<20時(shí)，G為可解群，最近對(duì)最高階元個(gè)數(shù)的研究又有新的進(jìn)展，姜友誼和錢國華老師在文[19]中得到了如下結(jié)果：最高階元的個(gè)數(shù)為的6p的有限群可解，姜友誼在文[20]中得到了。最高階元的個(gè)數(shù)為18p的有限群可解.顯然，同階型群最高階元的個(gè)數(shù)相同，因此文[4-7]，[19，20]的

4、研究有利于Thompson問題的解決。 第三章繼續(xù)上述工作，研討了群G的最高階元素的個(gè)數(shù)|M(G)|=28p對(duì)群的影響. 有一些群論專家對(duì)Thompson問題進(jìn)行了頗有意義的研究，如施武杰教授在[8]中提出了猜想。設(shè)G為有限群，H為有限單群，則G≌日當(dāng)且僅當(dāng)(1)πe(G)=πe(H)，其中πe(G)表示的階的集合， (2)|G|=|H|。 第四章將討論與同階型群密切相關(guān)的另—個(gè)問題，怎樣的群可由其元階型唯一確定