最高階元的個數(shù)與有限群的可解性.pdf

1、1987年Fields獎獲得者J.G.Thompson提出了如下兩個著名的猜想：猜想一：設G是有限群，N(G)={n|存在G的一個共軛類C使得|C|=n}。如果Z(G)=1，M為非交換的單群，并且N(G)=N(M)，則G≌M。 猜想二：MlG)表示群G中l(wèi)階元素組成的集合。設G和M都是有限群，|Ml(G)|=|Ml(M)|，l=1，2，…。如果G可解，則M也可解。 陳貴云教授對這兩個猜想都進行了深入的研究.對猜想一，并于

2、1994年證明了對素圖不連通的單群結論成立。對于猜想二，目前還沒有有效的方法得出一般性的結果。但有很多群論工作者通過研究最高階元的個數(shù)對有限群的可解性的影響，從側(cè)面對猜想二在一些特殊條件下進行了研究，得出了一些令人鼓舞的結果.例如文獻[1]研究了最高階元素的個數(shù)|M(G)|對群的影響，證明了當|M(G)|分別為2，奇數(shù)，2p(p為素數(shù))或ψ(k)時，G為可解群.文獻[2]證明了當|M(G)|=8時，G可解.文獻[3，4]證明了當|M(G

3、)|＜20或為2p2(p為素數(shù))時，G可解.文獻[5，6]證明了當|M(G)|=32或為2p3(p為素數(shù))時，G可解.文獻[7]證明了當|M(G)|=2pq(7≤p≤q，素數(shù))時，G可解.文獻[8]證明了當|M(G)|=2m(其中(m，30)=1)時，G可解，文獻[9]證明了當|M(G)|=30時，G可解.文獻[10]，[11]，[12]證明了當|M(G)|=4p，6p，8p(p為素數(shù))時，G可解.以上文獻對Thompson猜想的解決是

4、有用的.特別是文獻[9]，突破了過去一般只能證明群的可解性局限得出了完整的結構. 本文繼續(xù)了這一工作，得到了以下定理：定理3.1設G為有限群，如果|M(G)|=10pm(p≥5，素數(shù))，則G可解. 定理4.1設G為有限群，p、q為素數(shù)且q≥p≥7.如果|M(G)|=4pq，那么(1)如果q=p＞7，則G可解；(2)如果q＞p＞7，且2p+1不是素數(shù)，則G可解；(3)如果p=7，則G可解或G有一截斷同構于L2(7),L2(

5、8)或U3(3)且G為(2，3，7)-群. 定理4.2設G為有限群，p、q為素數(shù)且q，p≥7.如果|M(G)|=4pq，那么(1)如果p、q＞7，且2P+1、2q+1均不是素數(shù)，則G可解；(2)如果p=7，則G可解或G有一截斷同構于L2(7)，L2(8)或U3(3)且G為(2，3,7)-群. 定理5.1設G為有限群，p、q為≥5的素數(shù).如果|M(G)|=10pq，那么(1)如果q=p，則G可解；(2)如果q＞p，且2p+

6、1、10p+1均不是素數(shù)，則G可解；(3)如果2p+1、10p+1、2q+1和10q+1均不為素數(shù)，則G可解. 定理6.1設G為有限群，如果|M(G)|滿足下列條件之一，則Thompson猜想成立1.|M(G)|是奇數(shù)；2.|M(G)|＜20；3.|M(G)|=ψ(k)；4.|M(G)|=32；5.|M(G)|=2p、4p、8p、2p2、2p3(p為奇素數(shù))；6.|M(G)|=2pq(p為奇素數(shù))；7.|M(G)|=2k(k，1