自然Hamilton系統(tǒng)的連接軌道和拓?fù)潇?pdf

1、本文主要研究有限維完備Riemann流形上自然Hamilton系統(tǒng)異宿軌道的存在性、構(gòu)形流形的Jacobi度量和具有正拓?fù)潇氐腖iouville可積自然Hamilton系統(tǒng)的存在性。
　　 第一部分主要研究自然Hamilton系統(tǒng)異宿軌道的存在性。Rabinowitz在文獻(xiàn)[Ann.Inst.H.Poincare Anal.Non Lineaire6(1989),331-346]中,研究了歐氏空間二階自治Hamilton系統(tǒng)異宿

2、軌道的存在性,其證明方法強(qiáng)烈地依賴系統(tǒng)自治這個條件。2007年,Izydorek和Janczewska在[J.Diff.Eqns.238(2007),381-393]中提出新的方法將Rabinowitz的結(jié)果推廣到非自治的情形。
　　 我們將研究Riemann流形(M,g)上非自治自然Hamilton系統(tǒng)
　　 H(p,q)=1/2gij(q)pipj+V(q,t)
　　 其中(gij)n×n是Riemann度量

3、g=(gij)n×n的逆矩陣,(p,q)是M的余切叢T*M的局部坐標(biāo)。利用變分法和臨界點(diǎn)理論,借助Hilbert空間中弱收斂與強(qiáng)收斂的聯(lián)系和測地線的性質(zhì),在一定的條件下,我們證明了該系統(tǒng)存在異宿軌道。這項工作從兩個方面推廣和改進(jìn)了Rabi-nowitz和Izydorek-Jauczewska的工作:1.將構(gòu)形空間從Rn推廣到一般的Riemann流形；2.很多常見的自然Hmilton系統(tǒng),Rabinowitz和Izydorek-Jancz

4、ewska的結(jié)果無法適用,而我們的結(jié)果卻可以應(yīng)用。
　　 第二部分主要研究具有正拓?fù)潇氐淖匀籋amilton系統(tǒng)的構(gòu)形流形的幾何性質(zhì)。考慮Riemann流形(M,g)上的自治自然Hamilton系統(tǒng)
　　 H(p,q)=1/2gij(q)pipj+V(q,t)
　　 其中M=S1×N,S1是一維環(huán)(同胚于圓周),N是一緊致無邊流形。Bolotin和Rabinowitz在[J.Diff.Eqns.148(1998)

5、,364-387]中證明:在一定的條件下,存在δ>0,使得對所有h∈(0,δ),上述Hamilton系統(tǒng)在等勢面{H,(p,q))=h｝上具有正拓?fù)潇亍?br>　　 在他們工作的基礎(chǔ)上,我們證明:如果Hamilton流在{H,(p,q))=h｝上遍歷,或者N的基本群具有次指數(shù)增長率,則新的Riemann流形(M,(h-V)g)不是非正曲率流形,其中V≤0。我們的結(jié)果表明通過自然Hamilton系統(tǒng)的拓?fù)潇乜梢圆糠值亓私馄錁?gòu)形流形的幾何

6、性質(zhì)。
　　 第三部分主要研究具有正拓?fù)潇氐腖iouvine可積自然Hamilton系統(tǒng)的存在性。拓?fù)潇厥强坍嬒到y(tǒng)復(fù)雜性的量。以前人們猜測光滑Liou-ville可積Hamilton系統(tǒng)的拓?fù)潇厥橇恪?000年Bolsinov和Taimanov在[Invent.Math.140(2000),639-650]中構(gòu)造了第一個具有正拓?fù)潇氐墓饣琇iouville可積測地流的例子。但具有正拓?fù)潇氐墓饣琇iouville可積自然Hamil