一類Hamilton系統(tǒng)的周期解與同宿軌道.pdf

1、西南師范大學(xué)碩士學(xué)位論文一類Hamilton系統(tǒng)的周期解與同宿軌道姓名：歐增奇申請學(xué)位級別：碩士專業(yè)：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師：唐春雷2003.5.1對于二階H a m i l t o n 系統(tǒng)( H S 2 ) ，F(xiàn) ∈C 1 ( R XR ”，R ) 是關(guān)于t 的T 周期函數(shù)．其嗣；啁解存在的結(jié)論如下：定理2 ．設(shè)F 滿足下面的條件：( F 1 ) 當(dāng)H —+ o o 時(shí)，都有F ( t ，z ) ／?2 —+ + o o ，對t ∈R 一

2、致成立；( F 2 ) 當(dāng)?—} 0 時(shí)。都有F ( t ，z ) ／?2 —÷0 ，對t ∈R 一致成立；( F 3 ) 存在10 ，b 2 > 0 和L > 0 ，使得當(dāng)?≥L 時(shí)，對一切自! f ∈j 7都有。- V F ( t ，z ) 一2 F ( t ，z ) ≥b 1 I 。1 9 ；I V F ( t ，z ) lS k I z l “；或者I F ( t ，z ) 1S b 2 1 * l

3、68;1 ；( F 4 ) 存在5 > 0 ，使得當(dāng)蚓s 6 時(shí)，對一切的t ∈R ，都有F ( t i x J2 o則系統(tǒng)( H S 2 ) 至少存在一個(gè)非平凡的T 周期解．定理3 ．如果F 滿足條件( F 1 ) 一( F 3 ) 和下面的假設(shè)：( F 4 ’) 存在5 > 0 ，使得當(dāng)I = IS 6 時(shí)，對一切的t ∈R ，都有F ( t ，。) = 三0則系統(tǒng)( H S 2 ) 至少存在一個(gè)非平凡的T 周期解．二階

4、H a m i l t o n 系統(tǒng){ i ( t ) 一B ( t ) u ( t ) + V F ( t ，u ( t ) ) = 0 ( 日s ‘、1其中B ( t ) ∈c ( R ，R N 2 ) 是對稱的實(shí)值函數(shù)矩陣，F(xiàn) ∈G 1 ∽×且Ⅳ，兄) ．在這里，對二，二Ⅳ×。·，矩陣8 1 和s 2 ，用S 1 ≤s 2 ( I S dS I S 2 1 ) 表示∈( ＆一s 1 ) f ≥o (

5、I s l 引≤I S 2 ∈1 ) ，其中f ∈R Ⅳf j ．㈦= 1 ．首先對口做如下假設(shè)：( B 1 ) 對于B ( t ) 的最小特征值6 ( t ) i i n f K 仁lB ( t ) f ．∈，存在o t0 和F > 0 ，使得下面的假設(shè)之一成立：( i ) B ∈C 1 ( R ，R N 2 ) ，并且對任意的I t l > F ，都有I B ，( t ) I ≤n I B ( t ) l ，或( i i

6、 ) B ∈C 2 ( 冗，兄Ⅳ2 ) ，并且對任意的?> F ，都有日”( ￡) ≤o B ( ￡) ．其中B ’( ￡) = ( d ／d t ) B ( t ) ，B ”( t ) = ( d 2 ／d t 2 ) B ( t ) ．關(guān)于系統(tǒng)( H S 3 ) 同宿軌道存在的主要結(jié)果如定理4 ．若B 滿足( B 1 ) 和( B 2 ) ，并且F 滿足下面的條件：( F 5 ) 對任意的( t ，z ) ∈R ×R

7、 。Ⅳ，都有F ( t ，z ) ≥o ；( F 6 ) 當(dāng)H —÷o 。時(shí)，都有F ( t ，。) ／?2 —+ ∞，對t ∈R 一致成立；( F 7 ) 當(dāng)H —÷0 時(shí)，都有I V F ( t ，z ) l ／H —} 0 ，對t ∈R 一致成立；( F 8 ) 存在常數(shù)A o > 1 ，A o0 ，d 1 > 01 ，使得當(dāng)t ∈兄，z ∈兄Ⅳ＼{ 0 1 時(shí)，有?！甐 F ( t ，z ) 一2