一類二階Hamilton系統(tǒng)的周期解和次調(diào)和解.pdf

1、考慮二階連續(xù)的Hamilton系統(tǒng)其中，T＞0，A(t)是連續(xù)的N對稱階矩陣，F(xiàn)：R×RN→關(guān)于t是T—周期的且滿足以下假設(A)F(t，x)對每個x∈RN關(guān)于t是可測的，對a．e．t∈[O，T]關(guān)于x是連續(xù)可微的，且存在a∈C(R+，R+)，b∈L1(O，T；R+)使得｜F(t，x)｜≤a(｜x｜)b(t)，｜▽F(t，x)｜≤a(｜x｜)b(t)對所有的x∈RN及a．e．t∈[O，T]成立． 本文利用臨界點理論中的極小極大方

2、法研究了具有非一致強制位勢和具有超二次位勢的以上二階Hamilton系統(tǒng)的周期解和次調(diào)和解． 首先，考慮A=0這種特殊情況，這時系統(tǒng)(HS1)變成了我們的主要結(jié)果如下： 定理1設F(t，x)=C(x)+H(t，x)滿足條件(A)．若存在r＜4π2/T2和g∈L1(O，T；R+)使得(▽G(x)—▽G(y)，x—y)≤r｜x—y｜2(1)對所有x，y∈RN成立且｜▽H(t，x)｜≤g(t)對所有x∈RN及a．e．t∈[O，

3、T]成立．如果存在，γ∈L1(O，T)和[O，T]的滿足measE＞0的子集E使得F(t，x)≥γ(t)(2)對所有的x∈RN及a．e．t∈[O，T]成立，且當｜x｜→∞時，F(xiàn)(t，x)→+∞對a．e．t∈E成立．那么系統(tǒng)(HS2)至少有一個解． 定理2設F(t，x)=G(x)+H(t，x)滿足(A)和(1)，若存在f，g∈L1(O，T；R+)使得｜▽H(t，x)｜≤f(t)｜x｜a+g(t)(3)對所有x∈RN及a．e．t∈[

4、O，T]成立．如果當｜x｜→∞時，｜x｜-2aF(t，x)→=∞對a．e．t∈[O，T]一致地成立．則系統(tǒng)(HS2)至少有一個解． 定理3設F(t，x)=G(x)+H(t，x)滿足(A)，(1)，(2)和(3)，若存在[O，T]的滿足measE＞O的子集E使得當｜x｜→∞時｜x｜-2aF(t，x)→=∞(4)對a．e．t∈E成立．則系統(tǒng)(HS2)至少有一個解． 定理4設F(t，x)=G(x)+H(t，x)滿足(A)，(1

5、)，(2)，(3)和(4)．若存在δ＞0，ε＞0和正整數(shù)k＞0使得-1-2(k+1)2ω2｜x｜2≤F(t，x)—F(t，O)對所有x∈RN和a．e．t∈[O，T]成立，且F(t，x)—F(t，O)≤-1-2k2ω2(1+ε)｜x｜2對所有｜x｜≤δ和a．e．t∈[O，T]成立，其中ω=2π/T．則系統(tǒng)(HS2)至少有—個非零解．其次，考慮一般的A(t)為連續(xù)的N階對稱矩陣的情形．我們有以下定理： 定理5設F滿足條件(A)及以下

6、條件：且存在λ＞2和β＞λ-2使得如果0為—d2/dt2-A(t)(具有周期邊界條件)的特征值，那么也假設存在r＞0，使得當｜x｜≤r時，對任意的t∈[0，T]，都有F(t，x)≥0(或F(t，x)≤0)．則系統(tǒng)(HS1)至少存在一個非平凡的T—周期解． 定理6假設F滿足(A)，(5)，(6)，(7)及以下條件：則系統(tǒng)(HS1)存在無窮多個不同的次調(diào)和解． 考慮二階離散的Hamilton系統(tǒng)△2u(t-1)+b(t)▽V

7、(u(t))=0，(A)t∈Z，(DHS)其中△u(t)=u(t+1)—u(t)，△2u(t)=△(△u(t))，b∈C(R，R)且關(guān)于t是T—周期的，即，存在正整數(shù)T，使得對任意的t∈Z，有b(t+T)=b(t)．V∈C1(RN，R)，▽V(x)表示V(x)關(guān)于x的梯度． 本文利用臨界點理論中的極小極大方法來研究具有變號位勢的二階離散Hamilton系統(tǒng)(DHS)的周期解的存在性．主要結(jié)論如下： 定理7．假設函數(shù)6(t

8、)和V(x)=a｜x｜μ+W(x)，其中a＞0，μ＞2，W∈C1(RN，R)滿足下面的假設(b1)b∈C(R，R)：且存在正整數(shù)T使得對任意的t∈Z，有b(t+T)=b(t)，∑Tt=1b(t)=0但b≠0． (B2)存在T—周期函數(shù)e：Z→RN使得e｜z[1，T]\N1=0，∑t∈N1e(t)=0，e≠0且T∑t=1b(t)e(t)=0，其中N1={t∈Z[1，T]：b(t)＞0)． (W1)存在a0∈(0，2B-1s

9、in2(π—T))和r0＞0使得｜W(x)｜≤a0｜x｜2，()｜x｜≤r0，其中B=max{b(t)：t∈Z[1，T]｝，Z[n1，n2]=Z∩[n1，n2]，n1，n2∈Z滿足n1≤n2． (W2)存在常數(shù)G0＞0使得｜▽W(x)｜≤G0，()x∈RN．則系統(tǒng)(DHS)至少有一個非平凡的T—周期解． 定理8．假定μ＞2，d∈C(R，R)滿足(d1)存在正整數(shù)T，使得對任意的t∈Z有d(t+T)=d(t)，∑Tt=1d

10、(t)=0且d≠0． (d2)存在以T—周期的函數(shù)e：Z→RN使得e｜z[1，T]\N1=0，∑t∈N1e(t)=0，e≠0且∑Tt=1d(t)e(t)=0，其中N1=｛t∈Z[1，T]：d(t)＞O｝． 假設H：Z×RN→R，H(t，x)對每個t∈Z關(guān)于x是連續(xù)可微的，對每個x∈RN關(guān)于t是T—周期的，使得(H1)∑Tt=1H(t，x)≥0對所有的x∈RN成立． (H2)存在a0∈(0，1—cos(2π/T))