一類二階Hamilton系統(tǒng)的周期解和次調(diào)和解.pdf

1、考慮二階連續(xù)的Hamilton系統(tǒng)其中，T＞0，A(t)是連續(xù)的N對(duì)稱階矩陣，F(xiàn)：R×RN→關(guān)于t是T—周期的且滿足以下假設(shè)(A)F(t，x)對(duì)每個(gè)x∈RN關(guān)于t是可測(cè)的，對(duì)a．e．t∈[O，T]關(guān)于x是連續(xù)可微的，且存在a∈C(R+，R+)，b∈L1(O，T；R+)使得｜F(t，x)｜≤a(｜x｜)b(t)，｜▽F(t，x)｜≤a(｜x｜)b(t)對(duì)所有的x∈RN及a．e．t∈[O，T]成立． 本文利用臨界點(diǎn)理論中的極小極大方

2、法研究了具有非一致強(qiáng)制位勢(shì)和具有超二次位勢(shì)的以上二階Hamilton系統(tǒng)的周期解和次調(diào)和解． 首先，考慮A=0這種特殊情況，這時(shí)系統(tǒng)(HS1)變成了我們的主要結(jié)果如下： 定理1設(shè)F(t，x)=C(x)+H(t，x)滿足條件(A)．若存在r＜4π2/T2和g∈L1(O，T；R+)使得(▽G(x)—▽G(y)，x—y)≤r｜x—y｜2(1)對(duì)所有x，y∈RN成立且｜▽H(t，x)｜≤g(t)對(duì)所有x∈RN及a．e．t∈[O，

3、T]成立．如果存在，γ∈L1(O，T)和[O，T]的滿足measE＞0的子集E使得F(t，x)≥γ(t)(2)對(duì)所有的x∈RN及a．e．t∈[O，T]成立，且當(dāng)｜x｜→∞時(shí)，F(xiàn)(t，x)→+∞對(duì)a．e．t∈E成立．那么系統(tǒng)(HS2)至少有一個(gè)解． 定理2設(shè)F(t，x)=G(x)+H(t，x)滿足(A)和(1)，若存在f，g∈L1(O，T；R+)使得｜▽H(t，x)｜≤f(t)｜x｜a+g(t)(3)對(duì)所有x∈RN及a．e．t∈[

4、O，T]成立．如果當(dāng)｜x｜→∞時(shí)，｜x｜-2aF(t，x)→=∞對(duì)a．e．t∈[O，T]一致地成立．則系統(tǒng)(HS2)至少有一個(gè)解． 定理3設(shè)F(t，x)=G(x)+H(t，x)滿足(A)，(1)，(2)和(3)，若存在[O，T]的滿足measE＞O的子集E使得當(dāng)｜x｜→∞時(shí)｜x｜-2aF(t，x)→=∞(4)對(duì)a．e．t∈E成立．則系統(tǒng)(HS2)至少有一個(gè)解． 定理4設(shè)F(t，x)=G(x)+H(t，x)滿足(A)，(1

5、)，(2)，(3)和(4)．若存在δ＞0，ε＞0和正整數(shù)k＞0使得-1-2(k+1)2ω2｜x｜2≤F(t，x)—F(t，O)對(duì)所有x∈RN和a．e．t∈[O，T]成立，且F(t，x)—F(t，O)≤-1-2k2ω2(1+ε)｜x｜2對(duì)所有｜x｜≤δ和a．e．t∈[O，T]成立，其中ω=2π/T．則系統(tǒng)(HS2)至少有—個(gè)非零解．其次，考慮一般的A(t)為連續(xù)的N階對(duì)稱矩陣的情形．我們有以下定理： 定理5設(shè)F滿足條件(A)及以下

6、條件：且存在λ＞2和β＞λ-2使得如果0為—d2/dt2-A(t)(具有周期邊界條件)的特征值，那么也假設(shè)存在r＞0，使得當(dāng)｜x｜≤r時(shí)，對(duì)任意的t∈[0，T]，都有F(t，x)≥0(或F(t，x)≤0)．則系統(tǒng)(HS1)至少存在一個(gè)非平凡的T—周期解． 定理6假設(shè)F滿足(A)，(5)，(6)，(7)及以下條件：則系統(tǒng)(HS1)存在無(wú)窮多個(gè)不同的次調(diào)和解． 考慮二階離散的Hamilton系統(tǒng)△2u(t-1)+b(t)▽V

7、(u(t))=0，(A)t∈Z，(DHS)其中△u(t)=u(t+1)—u(t)，△2u(t)=△(△u(t))，b∈C(R，R)且關(guān)于t是T—周期的，即，存在正整數(shù)T，使得對(duì)任意的t∈Z，有b(t+T)=b(t)．V∈C1(RN，R)，▽V(x)表示V(x)關(guān)于x的梯度． 本文利用臨界點(diǎn)理論中的極小極大方法來(lái)研究具有變號(hào)位勢(shì)的二階離散Hamilton系統(tǒng)(DHS)的周期解的存在性．主要結(jié)論如下： 定理7．假設(shè)函數(shù)6(t

8、)和V(x)=a｜x｜μ+W(x)，其中a＞0，μ＞2，W∈C1(RN，R)滿足下面的假設(shè)(b1)b∈C(R，R)：且存在正整數(shù)T使得對(duì)任意的t∈Z，有b(t+T)=b(t)，∑Tt=1b(t)=0但b≠0． (B2)存在T—周期函數(shù)e：Z→RN使得e｜z[1，T]\N1=0，∑t∈N1e(t)=0，e≠0且T∑t=1b(t)e(t)=0，其中N1={t∈Z[1，T]：b(t)＞0)． (W1)存在a0∈(0，2B-1s

9、in2(π—T))和r0＞0使得｜W(x)｜≤a0｜x｜2，()｜x｜≤r0，其中B=max{b(t)：t∈Z[1，T]｝，Z[n1，n2]=Z∩[n1，n2]，n1，n2∈Z滿足n1≤n2． (W2)存在常數(shù)G0＞0使得｜▽W(xué)(x)｜≤G0，()x∈RN．則系統(tǒng)(DHS)至少有一個(gè)非平凡的T—周期解． 定理8．假定μ＞2，d∈C(R，R)滿足(d1)存在正整數(shù)T，使得對(duì)任意的t∈Z有d(t+T)=d(t)，∑Tt=1d

10、(t)=0且d≠0． (d2)存在以T—周期的函數(shù)e：Z→RN使得e｜z[1，T]\N1=0，∑t∈N1e(t)=0，e≠0且∑Tt=1d(t)e(t)=0，其中N1=｛t∈Z[1，T]：d(t)＞O｝． 假設(shè)H：Z×RN→R，H(t，x)對(duì)每個(gè)t∈Z關(guān)于x是連續(xù)可微的，對(duì)每個(gè)x∈RN關(guān)于t是T—周期的，使得(H1)∑Tt=1H(t，x)≥0對(duì)所有的x∈RN成立． (H2)存在a0∈(0，1—cos(2π/T))