二階離散Hamiltonian系統(tǒng)的周期解.pdf

1、考慮下面兩個非線性二階離散Hamiltonian系統(tǒng)(差分方程組)△2u(t-1)=±△F(t，u(t))，(A)t∈Z(DHS±)其中，△u(t)=u(t+1)-u(t)，△2u(t)=△(△u(t))，F(xiàn)：Z×RN→R，F(xiàn)(t，x)關(guān)于x連續(xù)可微，而且關(guān)于t是T-周期，即對任意x∈RN，有F(t+T，x)=F(t，x)，T是某正整數(shù)，△F(t，x)表示F(t，x)關(guān)于x的梯度. 本文首先定義了與系統(tǒng)(DHS±)相對應(yīng)的泛函，

2、并且證明了此泛函的臨界點恰好對應(yīng)于系統(tǒng)(DHS±)的T-周期解，然后，運用臨界點理論來討論系統(tǒng)解的存在性與多重性.主要結(jié)果如下： 定理1定義ψ±：HT→R為ψ±(u)=±1/2∑|△u(t)|2+∑(F(t，u(t))-F(t，0))其中，HT={u：Z→RN|u(t+T)=u(t)，t∈Z}，而且其上的內(nèi)積為〈u，v〉=T∑t=1(u(t)，v(t))，(A)u，v∈HT范數(shù)為‖u‖=(T∑t=1|u(t)|2)1/2,(A)

3、ut∈HT其中(·，·)和|·|分別表示RN中的通常意義下的內(nèi)積和范數(shù).如果u∈HT是相應(yīng)的歐拉方程ψ'±(u)=0的解，則u是系統(tǒng)(DHS±)的T-周期解，即ψ+的臨界點對應(yīng)系統(tǒng)(DHS+)的T-周期解，ψ-的臨界點對應(yīng)系統(tǒng)(DHS-)的T-周期解. 定理2Nk是HT的一個子空間，定義如下：Nk：={u∈HT|-△2u(t-1)=λku(t)}其中λk=2-2coskω，k∈Z[0，[T/2]]，ω=2π/T，而[·]表示Ga

4、uss函數(shù)(取整函數(shù))，Z[a，b]：=Z∩[a，b]，這種表示方法對任何的a,b∈Z而且a≤b都成立，則有(i)Nk⊥Nj，k≠j，k，j∈Z[0，[T/2]]；(ii)HT=⊕[T/2]k=0Nk. 定理3定義Hk：=⊕kj=0Nj，H⊥k：=⊕[T/2]j=k+1Nj，k∈Z[0，T/2]-1]，則有T∑t=1|△u(t)|2≤λk‖u‖2,(A)u∈Hk；T∑t=1|△u(t)|2≥λk+1‖u‖2,(A)u∈H⊥k.

5、 定理4假設(shè)F(t，x)滿足(F1)存在正整數(shù)T，使得對任意的(t，x)∈Z[1，T]×RN，有F(t+T，x)=F(t，x)；(F2)對任意的t∈Z[1,T]，當|x|→∞時，有∑Tt=1F(t，x)→+∞；(F3)對任意的t∈Z[1，T]，F(xiàn)(t，x)關(guān)于x是凸的，也就是說，對任何的x，y∈RN以及λ∈(0，1)，有F(t，(1-λ)y+λx)≤(1-λ)F(t，y)+λF(t，x)則系統(tǒng)(DHS+)至少有一個T周期解.

6、 定理5如果F(t，x)滿足(F1)以及(F4)存在常數(shù)Ti＞0，使得對任意的x，y∈RN以及t∈Z[1，T]，有F(t，x+Tiei)=F(t，x)，i∈Z[1，N]其中{ei}(1≤i≤N)表示RN的標準正交基，則系統(tǒng)(DHS+)至少有一個T周期解. 定理6假設(shè)F(t，x)滿足(F1)以及下面的(F5)存在常數(shù)M1＞0，M2＞0，0≤α＜1，使得|△F(t，x)|≤M1|x|α+M2對任意的(t，x)∈Z[1，T]×RN成

7、立；(F6)對任何t∈Z[1，T]，當|x|→∞時，|x|-2α∑Tt=1F(t，x)→+∞.則系統(tǒng)(DHS+)至少有一個解，周期為T.推論1假設(shè)(F1)，(F2)成立，而且有(F'5)存在常數(shù)M0＞0，使得對任意的(t，x)∈Z[1，T]×RN有|△F(t，x)|≤M0成立，則系統(tǒng)(DHS+)至少有一個T周期解. 定理7假設(shè)F(t，x)滿足(F1)，(F5)，(F6)以及下面的(F7)存在正數(shù)δ＞0，κ∈Z[0，[T/2]-1

8、]，使得-1/2λk+1|x|2≤F(t，x)-F(t，0)≤-1/2λk|x|2對任意的|x|≤δ以及t∈Z[1，T]成立，其中λk=2-2coskω，ω=2π/T，T＞2.則系統(tǒng)(DHS+)至少有三個T周期解.推論2如果(F1)，(F2)，(F'5)以及(F7)成立，則系統(tǒng)(DHS+)至少有三個T周期解. 定理8假設(shè)F(t，x)滿足(F1)以及(F8)存在常數(shù)δ1，使得當|x|≤δ1時，有F(t，x)≥0，而且當|x|→0時

9、，有F(t,x)/|x|2→0，對任意的t∈Z[1，T]都成立；(F9)當|x|→∞時，F(xiàn)(t,x)/|x|2→+∞，對任意t∈Z[1，T]成立.則系統(tǒng)(DHS-)至少有三個解，周期為T. 定理9假設(shè)F(t，x)滿足(F1)以及下面的(F10)存在常數(shù)δ＞0，κ∈Z[0，[T/2]-1]，使得1/2λk|x|2≤F(t，x)-F(t，0)≤1/2λk+1|x|2對任意的|x|≤δ以及t∈Z[1，T]成立，其中λk=2-2cosk

10、ω，ω=2π/T，T＞2；(F11)對任意t∈Z[1，T]有，lim|x|→∞F(t,x)/|x|2＞2.則系統(tǒng)(DHS-)至少有三個T周期解.定理10假設(shè)F(t，x)滿足(F1)，(F5)，(F6)，則系統(tǒng)(DHS-)至少有一個T周期解. 定理11假設(shè)F(t，x)滿足(F1)以及(F12)對所有的t∈Z[1，T]，當|x|→∞時，有F(t,x)/|x|2→0；(F13)對任意的t∈Z[1，T]，當|x|→∞時，有2F(t，x)