二水平因析設(shè)計(jì)若干問題的研究.pdf

1、二水平因析設(shè)計(jì)在實(shí)踐中是一種非常常用的試驗(yàn)方案，在很多科學(xué)研究項(xiàng)目里，我們經(jīng)常需要了解的是一些二水平因子的效應(yīng)；二水平因析設(shè)計(jì)更常常用于因子篩選試驗(yàn)。 二水平因析設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)相對(duì)比較簡單，它是因析設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)理論。許多重要的開創(chuàng)性的因析設(shè)計(jì)理論都是首先在這種設(shè)計(jì)里提出來，然后再被推廣到更為復(fù)雜的情形中。這篇博士論文著力于現(xiàn)代二水平因析設(shè)計(jì)理論的幾個(gè)方面，包括基礎(chǔ)的混雜結(jié)構(gòu)和別名性質(zhì)，一些選擇最優(yōu)設(shè)計(jì)的準(zhǔn)則及其與混雜結(jié)構(gòu)的聯(lián)系，也包括

2、近來快速發(fā)展的實(shí)用性非常強(qiáng)的穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)。其中關(guān)于非正規(guī)設(shè)計(jì)混雜結(jié)構(gòu)的結(jié)果具有較好的理論意義。 第一章我們討論因析設(shè)計(jì)的混雜結(jié)構(gòu)。這里所說的一個(gè)設(shè)計(jì)的混雜結(jié)構(gòu)是指它的別名集的結(jié)構(gòu)、同一別名集內(nèi)的效應(yīng)值之間的關(guān)系以及不同別名集的效應(yīng)值之間的關(guān)系．為了便于論證、避免混淆，我們首次定義了因子效應(yīng)的表示概念。我們稱效應(yīng)e在設(shè)計(jì)F中的對(duì)照為這個(gè)效應(yīng)的表示，記作E<,F>(e)。這個(gè)效應(yīng)e的值則記為V(e)，注意V(e)的大小并不依賴于設(shè)計(jì)

3、F的選擇。 因?yàn)樯鲜兰o(jì)三十年代R．A．Fisher在英國 Rothamsted農(nóng)業(yè)試驗(yàn)站的開創(chuàng)性工作以及 F.Yates和 D.J.Finney的突出貢獻(xiàn)就是基于正規(guī)設(shè)計(jì)，經(jīng)過研究者不斷的努力，正規(guī)設(shè)計(jì)的混雜關(guān)系在理論上正在逐步清析，正規(guī)設(shè)計(jì)的別名結(jié)構(gòu)也可以較好地用代數(shù)子群理論加以描述。 為了克服計(jì)算手段的不足，當(dāng)年Yates提出的計(jì)算因子效應(yīng)值的算法對(duì)試驗(yàn)者非常方便。在此基礎(chǔ)上Wu and Hamada(2000)給出

4、了計(jì)算因子效應(yīng)的計(jì)算公式。 其中τ(x<,i>)表示水平組合x<,i>的處理效應(yīng)。這個(gè)結(jié)論可以用線性回歸嚴(yán)格證明。 盡管對(duì)于正規(guī)部分因析設(shè)計(jì)，試驗(yàn)者沿用上面全設(shè)計(jì)的公式，其實(shí)在理論上這是基于一定的假設(shè)的。在Mukerjee and Wu(2006)中作者用投影幾何的方法嚴(yán)格證明了正規(guī)設(shè)計(jì)的別名集內(nèi)因子效應(yīng)值的關(guān)系，其中A<,i>代表一個(gè)別名集，而E<,F>(A<,i>)則是這個(gè)別名集中所有效應(yīng)的共同表示。方程右端正是Wu

5、 and Hamada(2000)計(jì)算正規(guī)設(shè)計(jì)中因子效應(yīng)的公式。 在Bose(1947)關(guān)于正交陣的劃時(shí)代理論之后，人們將視野從正規(guī)設(shè)計(jì)開拓到一般正交設(shè)計(jì)上來。Plackett and Burman(1946)給出一系列非正規(guī)設(shè)計(jì)如12個(gè)水平組合的正交設(shè)計(jì)。這些設(shè)計(jì)有較復(fù)雜的別名關(guān)系，Hamada and Wu(1992)稱之為部分別名關(guān)系，Kulahci and Bisgaard(2006)討論了它的限于二階因子效應(yīng)的別名矩陣

6、。受制于缺少象正規(guī)設(shè)計(jì)的嚴(yán)格的因子效應(yīng)值的混雜結(jié)構(gòu)，Tang and Deng(1999)和 Deng and Tang(1999)雖然將正規(guī)設(shè)計(jì)的MA準(zhǔn)則(我們稱之為最小低階混雜準(zhǔn)則)推廣到非正規(guī)的情形，卻沒有給出嚴(yán)格的理論依據(jù)。 本篇論文在第一章對(duì)非正規(guī)設(shè)計(jì)因子效應(yīng)混雜問題給出了清楚明確地解答，這個(gè)結(jié)論不止是適用非正規(guī)正交設(shè)計(jì)，同時(shí)也適合非正交的任意部分因析設(shè)計(jì)。所以它的理論價(jià)值同時(shí)也適合平衡和不平衡的超飽和設(shè)計(jì)。通過引進(jìn)單

7、位子群及非正規(guī)設(shè)計(jì)的別名集的概念，其中b<,ij>是E<,F>(A<,i>)與E<,F>(A<,i>)的內(nèi)積的n分之一。這個(gè)結(jié)論同時(shí)也涵蓋了前面提到的全設(shè)計(jì)因子效應(yīng)的計(jì)算公式、正規(guī)設(shè)計(jì)的因子效應(yīng)混雜關(guān)系。 在第一章我們還給出利用非正規(guī)設(shè)計(jì)混雜結(jié)構(gòu)來估計(jì)重要的因子效應(yīng)值的一種方法，從中我們可以看到非正規(guī)設(shè)計(jì)優(yōu)于正規(guī)設(shè)計(jì)的一個(gè)方面。 論文的第二章，我們從混雜結(jié)構(gòu)的視角出發(fā)，審視了現(xiàn)有的針對(duì)正規(guī)因析設(shè)計(jì)和非正規(guī)因析設(shè)計(jì)的最優(yōu)準(zhǔn)

8、則，得到一些新的結(jié)果并提出相關(guān)的新的準(zhǔn)則。 MA 準(zhǔn)則是由 Fries and Hunter(1980)提出，它以正規(guī)設(shè)計(jì)的定義對(duì)照子群為基礎(chǔ)，通過順序最小化字長型來選擇最優(yōu)設(shè)計(jì)。近二十年來MA準(zhǔn)則成為正規(guī)設(shè)計(jì)理論的主流，許多工作都是沿著這個(gè)方向展開的。它的權(quán)威性最近受到多方面的質(zhì)疑。Zhang et al．(2006)發(fā)現(xiàn) MA 準(zhǔn)則并非真正意義下的最小低階混雜準(zhǔn)則，并給出一個(gè)新的GMC準(zhǔn)則(稱為一般最小低階混雜準(zhǔn)則)，該準(zhǔn)則

9、能夠全面利用所有別名集來考量設(shè)計(jì)低階效應(yīng)的混雜程度。我們從混雜結(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)出發(fā)進(jìn)一步分析評(píng)價(jià)了MA準(zhǔn)則，它實(shí)際上是選擇能夠最好地估計(jì)效應(yīng)值V(I)的正規(guī)設(shè)計(jì)為最優(yōu)設(shè)計(jì)，即總均值效應(yīng)I受到有可能的最輕微的混雜。我們證明了MA最優(yōu)設(shè)計(jì)不能最好地去估計(jì)其它重要的效應(yīng)，即其它重要的效應(yīng)不能同時(shí)也被最輕微地混雜。在比較簡單的情況下MA最優(yōu)設(shè)計(jì)確實(shí)能平衡地照顧各個(gè)需要估計(jì)的效應(yīng)。但復(fù)雜情況下MA設(shè)計(jì)不一定能達(dá)到這種平衡，因此我們提出了關(guān)于平衡的概念及

10、相應(yīng)的平衡準(zhǔn)則。同時(shí)我們給出最大分辯度準(zhǔn)則、純凈效應(yīng)準(zhǔn)則、GMC準(zhǔn)則的分析及其相互關(guān)系，給出它們和平衡準(zhǔn)則的關(guān)系。 我們也研究了針對(duì)非正規(guī)因析設(shè)計(jì)的最小G-混雜準(zhǔn)則和最小G<,2>-混雜準(zhǔn)則。通過混雜關(guān)系我們發(fā)現(xiàn)，這些最優(yōu)準(zhǔn)則的目的就是降低用 ? 來估計(jì)V(I)的風(fēng)險(xiǎn)?；诖擞^察，我們發(fā)現(xiàn)上面準(zhǔn)則中的一些不合理的成份，并提出了一個(gè)新的準(zhǔn)則-最小 G<,3>-混雜準(zhǔn)則。這個(gè)新準(zhǔn)則對(duì)于超飽和設(shè)計(jì)也有一定的意義與針對(duì)超飽和平衡設(shè)計(jì)的最

11、小E(s<'2>)準(zhǔn)則有一定關(guān)聯(lián)。 在論文的第三部分，我們討論了關(guān)于選擇最優(yōu)二水平穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)的問題。由于穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)在理論上的重要性及其在工業(yè)中的應(yīng)用價(jià)值，自從Taguchi(1987)提出穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)以來就受到學(xué)者們及工業(yè)領(lǐng)域越來越多的關(guān)注。二水平穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)是非常重要的二水平因析設(shè)計(jì)中的一種。假設(shè)系統(tǒng)的表現(xiàn)受到l<,1>+l<,2>個(gè)因子的影響，其中l(wèi)<,1>個(gè)是控制因子，這些因子的水平一但選定在常規(guī)運(yùn)行中就不能改變；另外

12、l<,2>個(gè)是噪聲因子，這些因子的水平在常規(guī)運(yùn)行中是不能控制的。穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)的目的就是選擇好的控制因子組合，使得系統(tǒng)的表現(xiàn)不會(huì)由于噪聲因子的水平變化而產(chǎn)生顯著的波動(dòng)。我們用2<'l<,1>+l<,2>-m>來表示一個(gè)有2<'l<,1>+l<,2>-m>個(gè)水平組合的正規(guī)設(shè)計(jì)矩陣。 文獻(xiàn)中很多作者在選擇用于穩(wěn)健參數(shù)實(shí)驗(yàn)的最優(yōu)設(shè)計(jì)矩陣方面做了很多的貢獻(xiàn)和工作，如 Wu and Zhu(2003)、Bingham and Sitter(

13、1999)和Zhu(200a)。但他們主要的方法還是基于字長型及其推廣形式，而這些形式已被發(fā)現(xiàn)不能提供足夠的有關(guān)因子效應(yīng)之間相互混雜的信息。通過一個(gè)例子發(fā)現(xiàn)，基于他們給出的一個(gè)最優(yōu)準(zhǔn)則下的最優(yōu)設(shè)計(jì)并不能純凈地估計(jì)出最多的受到關(guān)注的因子效應(yīng)值。我們有理由說，即使是對(duì)于穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)試驗(yàn)，效應(yīng)等級(jí)原則(effect hierarchy principie)也是有效的；但試驗(yàn)者對(duì)因子效應(yīng)的興趣或關(guān)注點(diǎn)并不完全由它潛在的效應(yīng)值的大小來決定，而是由

14、穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)的目的決定的。所以我們定義了兩種因子效應(yīng)排序：一種是基于試驗(yàn)者的興趣，另一種是由效應(yīng)等級(jí)原則決定。通過與Zhanget al．(2006)相似的方法，我們提出來出一種別名型用來衡量感興趣的因子被低階效應(yīng)混雜的嚴(yán)重程度。一個(gè)新的準(zhǔn)則隨即被給出來，用于挑選最優(yōu)的二水平設(shè)計(jì)矩陣以滿足穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)的特殊性。在附錄中給出了一些最優(yōu)設(shè)計(jì)的表格以方便參照。 第一種因子效應(yīng)排序是基于 Wu and Zhu(2003)提出來的如下數(shù)字

15、法則，其中e<,i,j>表示一個(gè)由i個(gè)控制因子和j個(gè)噪聲因子交互作用產(chǎn)生的因子效應(yīng)，排序就是按照它們權(quán)重W(e<,i.j>)由小到大來排列，稱這個(gè)排序?yàn)榕d趣排序。排在第i級(jí)的因子效應(yīng)記為(i)-階因子效應(yīng)，i的值越小越受到關(guān)注。 另一個(gè)效應(yīng)排序是按照它們的字長，遵照效應(yīng)等級(jí)原則，由短至長進(jìn)行排列。稱這個(gè)排序?yàn)闈撛陲@著性排序。 如果一個(gè)因子效應(yīng)被正好k個(gè)j-階因子效應(yīng)別名，它稱為被j-階效應(yīng)以k級(jí)嚴(yán)重度別名。 根據(jù)