(α,β)-空間的若干子流形性質(zhì)和射影性質(zhì).pdf

1、Finsler幾何是在度量上沒有二次型限制的黎曼幾何([9]).著名數(shù)學(xué)家黎曼在1854年的就職演說中首次提及這類一般的正則度量幾何.但鑒于Finsler幾何計(jì)算上過于復(fù)雜，他將研究限于二次型度量的幾何，也就是黎曼幾何.1918年，P.Finsler在他的博士論文中系統(tǒng)地研究了具有一族范數(shù)的空間中的變分問題([13])，F(xiàn)insler幾何由此得名.1900年，D.Hilbert在巴黎數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出的23個(gè)問題中第4和第23問題是關(guān)于F

2、insler幾何的([19]).此后，在數(shù)學(xué)家E.Cartan、S.S.Chern、L.Berwald、J.Douglas等人的努力下，F(xiàn)insler幾何的內(nèi)容日益豐富.
　　 20世紀(jì)90年代以后，經(jīng)陳省身先生的大力倡導(dǎo)，F(xiàn)insler幾何的研究有了長足的進(jìn)展.代表人物有鮑大衛(wèi)，沈忠民等.黎曼幾何中的許多重要的概念和結(jié)果能夠推廣到Finsler幾何.例如體積比較定理([32])，調(diào)和映射([16][24])，子流形幾何([15

3、]，[17]，[33]，[42]，[45])，Einstein度量([1][12])，球面定理([25])，Gauss-Bonnet定理([6])等.
　　 (α，β)-度量F=αφ(β/α)是由黎曼度量α=√aij(x)yiyj和1-形式β=bi(x)yi構(gòu)造而成的一類重要Finsler度量，其中φ(s)是定義在某區(qū)間(-b0，b0)上滿足φ(0)=1的光滑正函數(shù)使得F為正定Finsler度量.顯然當(dāng)φ(s)=1或者β=0時(shí)，

4、(α，β)-度量就是通常的黎曼度量.當(dāng)φ(s)=1+s時(shí)，(α，β)-度量F=α+β稱為Randers度量([26]).(α，β)-度量在物理學(xué)和生物學(xué)中有大量的應(yīng)用([2])，受到廣泛關(guān)注([3][5][11][21][23][38]).本文主要探討賦予了(α，β)-度量的Finsler空間的子流形性質(zhì)和(α，β)-度量的一些射影性質(zhì).本文的主要內(nèi)容分為三個(gè)部分，分別探討(α，β)-空間的Bernstein定理、極小超曲面、(α，β)