2m階常微分方程Dirichlet邊值問題的解.pdf

1、微分方程Dirichlet邊值問題是微分方程邊值問題中比較典型的一類問題.對此問題，很多文獻用拓撲度理論和不動點指數(shù)理論（參見文獻[16]-[23]），或用Morse理論（參見文獻[24]-[31]），或用臨界點理論(參見文獻[3]，[5]，[6]，[7],[9]-[15])為工具已經(jīng)獲得許多有關(guān)解的存在性及多解性的結(jié)果.對本文有所啟發(fā)值得指出的是文[3]，[5]，[6],[8],[9].
　　文[5]將文[3]所建立的新的臨界點

2、理論運用到四階常微分方程Dirichlet邊值問題中，得到了方程存在四個解，六個解的結(jié)果;受文[5]的啟發(fā)，本文第一章進一步研究如下4m階常微分方程Dirichlet邊值問題:{ u(4m)=f(t，u),t∈[0,1]，(1.1.1)u(2i)(0)=u(2i)(1)=0,i=0,1,2,…,2m-1,其中f∈C([0，1]×R1)，運用文[6]將各類微分邊值問題轉(zhuǎn)化為算子方程的方法，得到了如下主要結(jié)果:
　　定理1.3.5假設(shè)

3、下列條件成立:
　　(H1)若問題(1.1.1)存在一對嚴格上下解α＜β，且α，β都滿足問題(1.1.1)中的邊值條件;
　　(H2) f(t，u)關(guān)于u嚴格遞增;
　　(H3) f(t，u)關(guān)于u Lipschitz連續(xù);
　　(H4)存在μ＞2，M＞0，使得0＜μF(t，u)≤uf(t，u)，t∈[0，1]，|u|≥M，這里F(t，u)=fu0f(t，v)dv，則問題(1.1.1)至少存在四個解.
　　

4、定理1.3.8若條件(H2)-(H4)成立，且
　　(H5)α1＜β1，α2＜β2分別是問題(1.1.1)的兩對嚴格上下解，且都滿足問題(1.1.1)的邊值條件，則問題(1.1.1)至少存在六個解.
　　文[8，定理3.20，4.2，p.65-73]運用極小極大原理研究一類二階橢圓型方程得到了基態(tài)解，無窮多解的存在性結(jié)果;本文第二章和第三章中運用文[8]的方法研究如下2m階常微分方程Dirichlet邊值問題:{(-1)mu

5、(2m)=f(t，u)，t∈[0，1]，(2.1.1)u(2i)(0)=u(2i)(1)=0,i=0,1,2,…,m-1,其中f∈C([0，1]×R1)，分別得到了如下結(jié)果:
　　定理2.3.4若對f做如下假設(shè):
　　(H6)存在C0＞0，使得|f(t，u)|≤C0(|u|+u|p-1)，(t，u)∈[0，1]×R1，其中p＞2;
　　(H7) f(t，u)=o（u），u→0，對t∈[0，1]一致成立;
　　(H

6、8)存在α＞2，使得αF(t，u)≤uf(t，u)，（t，u）∈[0，1]×R1;
　　(H9)存在R＞0，使得 inf t∈[0,1],|u|＞R F(t，u)＞0;
　　(H10)任給t∈[0，1]，f(t,u)/|u|關(guān)于u嚴格遞增，則問題(2.1.1)在C2m[0，1]中有一基態(tài)解.
　　定理3.3.2若f(t，u)=μ|u|q-2u+λ|u|p-2u，則對所有μ＞0，λ∈R1，問題(2.1.1)有一列非平凡解