一類(lèi)動(dòng)力系統(tǒng)的孤立奇點(diǎn)穩(wěn)定性分析及其應(yīng)用.pdf

1、眾所周知，微分方程的建立與眾多的物理、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)系統(tǒng)息息相關(guān)，而現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展在很大程度上也依賴(lài)于這方面的成就與進(jìn)展，如眾多數(shù)理方程反映了物理學(xué)上的某一類(lèi)普遍規(guī)律，作為有著廣泛應(yīng)用背景的反應(yīng)擴(kuò)散方程也是如此。而考慮其穩(wěn)態(tài)意義下的情形便可轉(zhuǎn)化為常微分方程的問(wèn)題。 穩(wěn)定性理論是微分方程的重要分支，是由研究運(yùn)動(dòng)問(wèn)題而發(fā)展起來(lái)的。俄國(guó)偉大數(shù)學(xué)家李雅普諾夫首先給出了穩(wěn)定性的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，并建立了一系列豐富的理論，在常微分方程定

2、性理論及其穩(wěn)定性理論中，判定系統(tǒng)的奇點(diǎn)穩(wěn)定性占有一席之地，得到很多數(shù)學(xué)家們的關(guān)注。最著名的李雅普諾夫判定法或稱(chēng)為直接法，其次是輔助函數(shù)法。用線性化系數(shù)矩陣的特征值，對(duì)奇點(diǎn)進(jìn)行初等分類(lèi)同樣給出了一種判定穩(wěn)定性的方法。這些方法簡(jiǎn)潔有效，理論上較完備，可是應(yīng)用上較困難。 論文在第一章中總結(jié)了定性分析中奇點(diǎn)的分類(lèi)與穩(wěn)定性的判定，從平面自治系統(tǒng)的奇點(diǎn)分類(lèi)到雙曲奇點(diǎn)的判定，中心焦點(diǎn)的判定都是經(jīng)典結(jié)果。對(duì)臨界情形奇點(diǎn)的分類(lèi)及高階奇點(diǎn)的情形給予

3、系統(tǒng)的總結(jié)。另外介紹了幾何判定法與射線投影判定奇點(diǎn)穩(wěn)定性的方法。 第二章中主要總結(jié)了部分李雅普諾夫輔助函數(shù)法判定奇點(diǎn)的穩(wěn)定性態(tài)的結(jié)果。介紹了幾種李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造方法，以及動(dòng)能水平集方法，并利用孤立極值把奇點(diǎn)穩(wěn)定性與優(yōu)化極值聯(lián)系起來(lái)，討論了哈密頓型系統(tǒng)的奇點(diǎn)穩(wěn)定性的判定， 第三章是論文的創(chuàng)新部分，把一類(lèi)反應(yīng)擴(kuò)散方程轉(zhuǎn)化為四維動(dòng)力系統(tǒng)。對(duì)此系統(tǒng)孤立奇點(diǎn)的穩(wěn)定性進(jìn)行了詳細(xì)的分析。給出了系統(tǒng)為哈密頓系統(tǒng)的充要條件，并給出非線

4、性系統(tǒng)奇點(diǎn)的穩(wěn)定性判定方法，解決了此類(lèi)非線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)穩(wěn)定性判定問(wèn)題，并把此方法進(jìn)一步的推廣到n維系統(tǒng)和其他類(lèi)非線性系統(tǒng)。 第四章中分析了兩個(gè)奇點(diǎn)穩(wěn)定性的應(yīng)用例子。G-L超導(dǎo)模型穩(wěn)定性分析中通過(guò)系統(tǒng)在常穩(wěn)態(tài)意義下的奇點(diǎn)定性分析以及發(fā)展型模型的奇點(diǎn)分析，很好地解釋了高溫超導(dǎo)材料會(huì)出現(xiàn)奇特現(xiàn)象。FHN模型的穩(wěn)定性分析中討論了魚(yú)神經(jīng)系統(tǒng)的奇點(diǎn)穩(wěn)定性態(tài)，也很好的解釋了魚(yú)神經(jīng)的一些混亂現(xiàn)象，這對(duì)人的神經(jīng)系統(tǒng)的分析有一定的指導(dǎo)意義。