Jacobi形式空間的維數(shù)公式.pdf

1、自守形式理論是數(shù)學(xué)中最富饒的領(lǐng)域之一．一個(gè)多世紀(jì)以來，它成為數(shù)論，分析，表示論和代數(shù)幾何等眾多數(shù)學(xué)分支的交叉地，是很多深刻猜想的源泉．在過去的十多年中，這個(gè)領(lǐng)域有了巨大的進(jìn)展，一個(gè)重要的成果體現(xiàn)在1994年英國(guó)數(shù)學(xué)家懷爾斯完全解決困惑數(shù)學(xué)家三百多年的費(fèi)馬大定理的．作為自守形式的一種推廣，Jacobi形式是定義在HL×C(l，n)上滿足一些變換律的全純函數(shù)．Jacobi形式可以說是模形式和θ-函數(shù)的結(jié)合體，因而它具有許多很好的算

2、術(shù)性質(zhì)．這類函數(shù)有很經(jīng)典原型，如Jacobiθ-級(jí)數(shù)，Siegel模形式的傅立葉展開項(xiàng)的系數(shù)．Jacobi形式理論由M．Eichler和D．Zagier系統(tǒng)地創(chuàng)立于1985年，在過去的二十年中，該理論取得長(zhǎng)足發(fā)展并得到廣泛應(yīng)用．本文中，作者討論兩個(gè)問題，一個(gè)是θ-級(jí)數(shù)在Siegel模群下的變換律，另一個(gè)是Jacobi形式空間的維數(shù)公式．對(duì)于第一個(gè)問題，作者首先考察了θ-級(jí)數(shù)θs,a(T，z)的性質(zhì)，并在θ-級(jí)數(shù)空間Ts(T

3、)上定義線性算子Us(ξ)．根據(jù)Siegel模群的一個(gè)分類，作者得到θ-級(jí)數(shù)在不同情形下作用的具體的變換公式．(公式略)作為推論，并求得的該算子的跡．線性算子的跡在后面計(jì)算Jacobi形式空間的維數(shù)公式時(shí)會(huì)被用到．對(duì)于第二個(gè)問題，作者對(duì)于Jacobi尖點(diǎn)形式構(gòu)造出核函數(shù)Ｋ(w，w')，然后得到維數(shù)公式的表達(dá)式：(公式略)最后作者利用Selberg跡公式的方法考慮計(jì)算每個(gè)共軛類對(duì)維數(shù)公式的貢獻(xiàn)．當(dāng)n=2時(shí)，對(duì)于主同余子群r2