一類時(shí)間分?jǐn)?shù)階拋物型方程反問(wèn)題的磨光解法.pdf

1、我們一直在研究經(jīng)典的時(shí)間分?jǐn)?shù)階拋物型方程的正問(wèn)題，對(duì)該類問(wèn)題的研究也比較完善.但是，對(duì)于該類問(wèn)題反問(wèn)題的研究不是很多，在許多的工程問(wèn)題中經(jīng)常會(huì)運(yùn)用到此類反問(wèn)題.例如，得知物理內(nèi)部的溫度、密度等問(wèn)題，對(duì)于此類問(wèn)題只能通過(guò)某一時(shí)刻的測(cè)量值來(lái)反演.本文主要研究的是0＜γ＜1的時(shí)間分?jǐn)?shù)階反問(wèn)題:{(6)γu/(6)tγ=(6)2u/(6)x2,(x,t)∈(0,π)×(0，T],u(0，t)=u(π，t)=0，t∈[0，T]，u(x，T）=g(

2、x）， x∈[0，π].(0.1)這里我們定義的是Caputo意義下的分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)即:dγ/dtγf(t）:=1/Γ(1-γ)∫t0df(s)/ds ds/(t-s)γ.
　　我們的反問(wèn)題是:由測(cè)量值u(·，T)得到u(x，t），t∈[0，T）.這個(gè)問(wèn)題是不適定的:如果所研究問(wèn)題的解存在，它不連續(xù)依賴已知的數(shù)據(jù).因此我們需要對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行正則化處理.
　　首先，我們假設(shè)初始值u(x，0)滿足先驗(yàn)條件‖u(x，0)‖Hp0(0，π)

3、≤ E，p＞0.此外，設(shè)gδ(x)是最終測(cè)量值g(x)的擾動(dòng)數(shù)據(jù)，并且兩者之間滿足‖gδ(x)-g(x)‖L2(0，π)≤δ.因此我們需要考慮下面的反問(wèn)題{(6)γu/(6)tγ=(6)2u/(6)x2,(x，t)∈(0，π)×（0，T]，u（0，t)=u（π，t）=0， t∈[0，T]，u(x,T)=gδ(x), x∈[0，π].(0.2)
　　對(duì)于上述問(wèn)題的研究到目前為止不是很多，最初在文獻(xiàn)[23]中，作者運(yùn)用quasi-re

4、versibility方法構(gòu)造的正則化格式;另一關(guān)于該問(wèn)題的研究出現(xiàn)在文獻(xiàn)[24]中，作者用投影的方法構(gòu)造正則化格式.在本文中，我們提出了用磨光法來(lái)構(gòu)造正則化格式，即{(6)γu/(6)tγ=(6)2u/(6)x2,(x，t)∈(0，π)×(0，T]，u(0，t)=u(π，t)=0， t∈[0，T]，u(x，T)=ψα*g(x)， x∈[0，π].(0.3)并且給出了在‖·‖Hp0先驗(yàn)信息下的估計(jì)形式，同時(shí)給出了正則化參數(shù)α的選取方式，